1鹿児島大学 2008年 数学 第1問解答・解説

(1) $\omega$ は $x^3-1=0$ の虚数解なので、$\omega^3=1$ かつ $\omega\ne1$ である。$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ より、$\omega^2+\omega+1=0$。また $\omega^4=\omega$ だから、$\omega^4+\omega^2+1=\omega+\omega^2+1=0$。

(2) 条件を満たす整数の範囲は、$m=-2,-1,0,1$、$n=-1,0,1,2$ である。したがって全体は $4\cdot4=16$ 組。求める条件「$1\le m$ または $n<0$」を満たさないのは、その否定である「$m<1$ かつ $n\ge0$」を満たす組である。このとき $m=-2,-1,0$、$n=0,1,2$ なので $3\cdot3=9$ 組。よって求める個数は $16-9=7$。

(3) 接線 $PT$ は半径 $OT$ に垂直であり、$T,Q,O$ は一直線上にあるから、$\angle PTQ=90^\circ$。また $TQ=2r$ である。直角三角形 $PTQ$ で $\angle QPT=30^\circ$ より、$\sin30^\circ=TQ/PQ$ だから $PQ=4r$。さらに $\cos30^\circ=PT/PQ$ より $PT=2\sqrt{3}r$。

点 $P,R,Q$ は一直線上にあり、接弦定理から $\angle PTR=\angle TQR=\angle PQT$。また $\angle TPR=\angle QPT$ なので、$\triangle PTR\sim\triangle PQT$。したがって $PT/PQ=PR/PT$、すなわち $PR=PT^2/PQ$。ゆえに $PR=(2\sqrt{3}r)^2/(4r)=3r$。

(4) 正六角形の辺の長さを $s$ とする。選んだ3頂点の間を円周に沿って進むとき、各区間に含まれる六角形の辺の数を $a,b,c$ とすれば、$a,b,c$ は正の整数で $a+b+c=6$。その整数分割は $1+1+4$、$1+2+3$、$2+2+2$ の3種類である。

$1,1,4$ の場合は3頂点が連続するので、辺の長さが $s,s,\sqrt{3}s$ の二等辺三角形（正三角形を除く）となり、6個ある。$2,2,2$ の場合は辺の長さがすべて $\sqrt{3}s$ となる正三角形で、2個ある。全体は $\displaystyle \binom{6}{3}=20$ 個だから、残る $20-6-2=12$ 個が求める三角形である。したがって確率は $12/20=3/5$。