1日本大学 2016年 数学 第1問解答・解説

(1) 分母を有理化すると、$$\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})^2}{4-3}=7+4\sqrt{3},\qquad \frac{4}{\sqrt{5}-1}=\frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\sqrt{5}+1.$$したがって与式は$8+4\sqrt{3}+\sqrt{5}$である。$\displaystyle \left(\frac{17}{10}\right)^2<3$、$\displaystyle \left(\frac{11}{5}\right)^2<5$より$\displaystyle 4\sqrt{3}+\sqrt{5}>4\cdot\frac{17}{10}+\frac{11}{5}=9$。また$\displaystyle 3<\left(\frac74\right)^2$、$\displaystyle 5<\left(\frac94\right)^2$より$\displaystyle 4\sqrt{3}+\sqrt{5}<4\cdot\frac74+\frac94=\frac{37}{4}<10$。よって整数部分は$17$、小数部分は$8+4\sqrt{3}+\sqrt{5}-17=4\sqrt{3}+\sqrt{5}-9$である。

(2) $k\ne0$なら二次方程式であり、判別式は$$D=(k+1)^2-4k^2=(1-k)(3k+1).$$異なる二実根をもつ条件は$D>0$なので$\displaystyle -\frac13<k<1$。ただし$k=0$では方程式は$-x=0$となり二次方程式ではなく、解は一つである。従って求める範囲は$\displaystyle -\frac13<k<0$または$0<k<1$。

(3) 正弦定理より$$\displaystyle \frac{CA}{\sin B}=2R,\qquad \frac{AB}{\sin C}=2R.$$ここで$CA=2\sqrt{3}$、$\displaystyle \sin B=\frac12$だから$2R=4\sqrt{3}$、従って$R=2\sqrt{3}$。さらに$$\displaystyle \sin C=\frac{AB\sin B}{CA}=\frac{5\cdot\frac12}{2\sqrt{3}}=\frac{5}{4\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{12}.$$

(4) 1回ごとに赤玉が出る確率は$\displaystyle \frac{5}{10}=\frac12$で、戻して引くので各回は独立である。4回目に2度目の赤玉が出るには、4回目が赤であり、最初の3回のうち赤がちょうど1回であればよい。その赤が出る位置は3通りあり、各列の確率は$\displaystyle (\frac12)^4$なので、求める確率は$$\displaystyle 3\left(\frac12\right)^4=\frac{3}{16}.$$