4北海道大学 2023年 数学 第4問解答・解説

さいころの出目はすべて1以上6以下である。$a_0=1, a_{n+1}=6$ とおくと、$$\displaystyle K_n=\sum\limits _{i=0}^{n}|a_{i+1}-a_i|.$$ また $\displaystyle \sum\limits _{i=0}^{n}(a_{i+1}-a_i)=5$ だから、$K_n\ge 5$。等号成立は各 $a_{i+1}-a_i\ge0$ のとき、かつそのときに限る。よって $q_n=5$、また $K_n=q_n$ となる必要十分条件は $1\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le6$ である。

(1) $K_3=5$ となるのは $1\le a_1\le a_2\le a_3\le6$ の場合である。このような列の個数は、1から6までの6種類から重複を許して3個を選ぶ組合せの数 $\displaystyle \binom{6+3-1}{3}=\binom83=56$。全事象は $6^3=216$ 通りなので、確率は $56/216=7/27$。

(3) $L_n=K_n+|a_4-4|\ge5$。例えば $a_1=a_2=a_3=1, a_4=a_5=\cdots=a_n=4$ とすれば $L_n=5$ となるから、$r_n=5$。等号 $L_n=5$ となるのは $K_n=5$ かつ $a_4=4$ のとき、すなわち $1\le a_1\le a_2\le a_3\le a_4=4\le a_5\le\cdots\le a_n\le6$ のときに限る。最初の3項は1,2,3,4から重複を許して選ぶ非減少列なので $\displaystyle \binom{4+3-1}{3}=\binom63=20$ 通り。残りの $n-4$ 項は4,5,6から重複を許して選ぶ非減少列なので $\displaystyle \binom{3+(n-4)-1}{n-4}=\binom{n-2}{2}$ 通り（$n=4$ のときも1通り）。したがって有利な列は $\displaystyle 20\binom{n-2}{2}$ 通りであり、 $$\displaystyle p_n=\frac{20\binom{n-2}{2}}{6^n}=\frac{10(n-2)(n-3)}{6^n}.$$