3北海道大学 2023年 数学 第3問解答・解説

実数 $t$ に対して $g(t)=te^{-t}$ とおくと、 $$g'(t)=e^{-t}(1-t).$$ したがって$g$は$t\le1$で増加し、$t\ge1$で減少する。また$g(0)=0$、$g(1)=1/e$、$\displaystyle \lim\limits _{t\to-\infty}g(t)=-\infty$、$\displaystyle \lim\limits _{t\to\infty}g(t)=0$である。

(1) 水平線$y=k$との交点数を考える。$k\le0$では1個、$0<k<1/e$では2個、$k=1/e$では1個、$k>1/e$では0個である。

(2) 正の$t$について$g(t)\le1/e$で、等号は$t=1$のときに限る。よって$g(x)g(y)\le e^{-2}$であり、$c=e^{-2}$なら等号成立には$x=y=1$が必要なので解はただ1組である。$0<c<e^{-2}$なら$x=1$とすると$g(y)=ce$かつ$0<ce<1/e$となり、(1)より正の$y$が2つ存在するため解は1組ではない。$c\le0$または$c>e^{-2}$では解はない。

(3) 条件は$g(x)g(y)=3e^{-4}$である。$g(x)\le1/e$より$g(y)=3e^{-4}/g(x)\ge3e^{-3}$。$g$は$t>1$で減少し、$g(3)=3e^{-3}$だから$y>3$は不可能である。$y=3$では$g(x)=1/e$となり、これは$x=1$のときに限る。実際$(x,y)=(1,3)$は条件を満たすので、最大値は$3$、そのとき$x=1$である。