2日本大学 2013年 数学 第2問解答・解説

第2問

各回は復元抽出なので、長さ $n$ の記録列は全部で $3^n$ 通りあり、同様に確からしい。

・ $-1,1,2$ の出現回数をそれぞれ $x,y,z$ とする。$n=3$, $S_3=2$ なら $$x+y+z=3,\qquad -x+y+2z=2.$$ 差をとると $z-2x=-1$。非負整数条件を合わせると唯一の組は $(x,y,z)=(1,1,1)$。記録列は $3!=6$ 通りだから $$\displaystyle \Pr(S_3=2)=\frac6{3^3}=\frac29.$$

・ 同様に $n=6$ では $$x+y+z=6,\qquad -x+y+2z=2,$$ すなわち $z=2x-4$, $y=10-3x$。$x,y,z$ が非負整数となるのは $x=2$ または $x=3$ である。 $$\displaystyle (x,y,z)=(2,4,0)\text{ の列数 }\frac{6!}{2!4!}=15, \qquad (x,y,z)=(3,1,2)\text{ の列数 }\frac{6!}{3!1!2!}=60.$$ 従って $$\displaystyle \Pr(S_6=2)=\frac{15+60}{3^6}=\frac{75}{729}=\frac{25}{243}.$$

・ $n=6m$ とすると $$x+y+z=6m,\qquad -x+y+2z=2.$$ これより $$z=2x+2-6m,\qquad y=12m-3x-2.$$ $z\ge0$ より $x\ge3m-1$。また $y\ge0$ より $x\le(12m-2)/3=4m-2/3$ なので、整数 $x$ は $3m-1,3m,\ldots,4m-1$ をとる。この各整数に対し $z,y$ は非負整数として一意に決まる。したがって組の個数は $$(4m-1)-(3m-1)+1=m+1.$$