4千葉大学 2017年 数学 第4問解答・解説

【追加仮定（原文に明記なし）】公平な六面体さいころを独立に3回振るという確率モデルを用います。

各回の出目を $x_1,x_2,x_3$ とする。得点に加わるのは、それまでに出ていない目が初めて出たときだけなので、総得点 $S$ は $x_1,x_2,x_3$ の異なる値の和である。全事象は $6^3=216$ 通りで、同様に確からしい。

(1) 異なる目は高々3個だから、$S\le 6+5+4=15$。等号は $4,5,6$ が1回ずつ出るときに限り、その順序は $3!=6$ 通りである。したがって $\displaystyle p_{15}=\frac{6}{216}=\frac1{36}$。いっぽう最初の出目は少なくとも1で、他の得点は非負なので $S\ge1$。$S=1$ となるのは $(1,1,1)$ だけだから $\displaystyle p_1=\frac1{216}$。

(2) 出目の異なる値の個数で場合分けする。1個なら同じ目が3回出て、その目が6の場合の1通り。2個なら異なる2数の和が6である組は $\{1,5\},\{2,4\}$ の2組であり、各組について3回の列に両方の目が現れるものは $2^3-2=6$ 通り、計12通り。3個なら相異なる3数の最小の和が $1+2+3=6$ なので、和が6となる組は $\{1,2,3\}$ のみで、その順序は $3!=6$ 通り。よって総得点 $6$となる列は $1+12+6=19$ 通りであり、$\displaystyle p_6=\frac{19}{216}$。