7千葉大学 2017年 数学 第7問解答・解説

さいころの出目を順に $a,b,c$ とする。各出目はそれまでに出ていないときだけ得点に加わるので、総得点は列 $(a,b,c)$ に現れる異なる目の和である。全事象は $6^3=216$ 通り。

(1) 最小値は目1だけが出る場合の1で、その出方は $(1,1,1)$ の1通り。従って $p_1=1/216$。最大値には3種類の目が必要で、異なる3目の和の最大は $4+5+6=15$。その出方は $(4,5,6)$ の順列6通りだから $p_{15}=6/216=1/36$。

(2) 総得点6となる出方を異なる目の個数ごとに分ける。1種類なら $(6,6,6)$ の1通り。2種類なら和が6となる組は $\{1,5\},\{2,4\}$ の2組で、各組の両方を含む3回の列は $2^3-2=6$ 通り。3種類なら和が6となる組は $\{1,2,3\}$ のみで、順列は6通り。よって $$\displaystyle p_6=\frac{1+2\cdot6+6}{216}=\frac{19}{216}.$$

(3) 異なる目が1種類なら各 $n=1,2,\ldots,6$ について列は1通り。異なる目が2種類なら、和が $n$ となる各組について両方の目を含む列が $2^3-2=6$ 通り。異なる目が3種類なら、和が $n$ となる各組について順列が $3!=6$ 通り。これらを足すと、総得点 $n=1,2,\ldots,15$ の列数は $$\begin{array}{c|rrrrrrrr} n&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline 1\text{種類}&1&1&1&1&1&1&0&0\\ 2\text{種類}&0&0&6&6&12&12&18&12\\ 3\text{種類}&0&0&0&0&0&6&6&12\\\hline \text{合計}&1&1&7&7&13&19&24&24 \end{array}$$ $$\begin{array}{c|rrrrrrr} n&9&10&11&12&13&14&15\\\hline 1\text{種類}&0&0&0&0&0&0&0\\ 2\text{種類}&12&6&6&0&0&0&0\\ 3\text{種類}&18&18&18&18&12&6&6\\\hline \text{合計}&30&24&24&18&12&6&6 \end{array}$$ 最大の列数30は $n=9$ のときだけなので、$p_n$ は $n=9$ で最大となり、 $$\displaystyle p_9=\frac{30}{216}=\frac5{36}.$$