千葉大学 2017年数学第3問解答・解説

数学と人間の活動（整数）いろいろな式

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1問題

千葉大学2017年度第3問

a, b を正の整数とするとき, 次を証明せよ。

(1) $a^{3}-a$ は3の倍数である。

(2) a-b が3の倍数ならば, $a^{3}-b^{3}$ は9の倍数である。

(3) $a^{3}-b^{3}$ は, 3の倍数ならば9の倍数である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $3\mid a^3-a,\quad$ (2) $9\mid a^3-b^3,\quad$ (3) $9\mid a^3-b^3.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\text{(1) }a^3-a=(a-1)a(a+1).\text{ }a-1,a,a+1\text{ は連続する3整数なので、そのうち1つは3の倍数である。したがって }3\mid(a^3-a).\\\text{(2) }a-b=3k\ (k\text{ は整数})\text{ とおく。すると}\ a^2+ab+b^2=(b+3k)^2+(b+3k)b+b^2=3(b^2+3bk+3k^2).\text{ よって}\ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=9k(b^2+3bk+3k^2)\text{ であり、}9\mid(a^3-b^3).\\\text{(3) (1)より }3\mid(a^3-a),3\mid(b^3-b).\text{ 仮定 }3\mid(a^3-b^3)\text{ と合わせると}\ a-b=(a^3-b^3)-\{(a^3-a)-(b^3-b)\}\text{ も3の倍数である。(2)を適用して }9\mid(a^3-b^3).$

この問題で使う考え方

約数・倍数
三次の乗法・因数分解公式

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