1日本大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) 方程式を左辺にまとめて因数分解する。 $$\begin{aligned} x^3+2x^2+3x+2&=4x+4\\ x^3+2x^2-x-2&=0\\ x^2(x+2)-(x+2)&=0\\ (x+2)(x-1)(x+1)&=0. \end{aligned}$$ したがって、解は $x=-2,-1,1$ である。

(2) 多項式を因数分解すると $$f(n)=n^3+2n^2+3n+2=(n+1)(n^2+n+2).$$ $n$ は4の倍数でないので、$n$ を4で割った余り $r$ は1、2、3のいずれかである。次の表の各欄は4で割った余りを表す。 $$\begin{array}{c|ccc} r & n+1 & n^2+n+2 & f(n)\\ \hline 1&2&0&0\\ 2&3&0&0\\ 3&0&2&0 \end{array}$$ どの場合も $f(n)$ は4で割り切れる。よって $f(n)$ は4の倍数である。