3日本大学 2023年 数学 第3問解答・解説

$P$ の極座標を $(r,\theta)$ とし、$Q$ の極座標を $(s,\phi)$ とする。$r=OP>0,\ s=OQ>0$ であり、$OP\perp OQ$ なので、$\phi$ は $\theta$ と $\pi/2$ だけ異なる。したがって $$\cos^2\phi=\sin^2\theta,\qquad \sin^2\phi=\cos^2\theta.$$

(1) P が双曲線上にあることから $$\displaystyle r^2\left(\frac{\cos^2\theta}{4}-\frac{\sin^2\theta}{9}\right)=1.$$ $Q$ が同じ双曲線上に取れるためには、$Q$ の方向での係数 $$\displaystyle \frac{\sin^2\theta}{4}-\frac{\cos^2\theta}{9}$$ が正でなければならず、正ならば $s$ をその係数の逆平方根に取れる。さらに垂直な二方向のうち $x$ 座標が正の方を選ぶと、双曲線の式から $x_Q\geq2$ となる。よって必要十分条件は $$\displaystyle \frac{\sin^2\theta}{4}-\frac{\cos^2\theta}{9}>0 \quad\text{すなわち}\quad 9\sin^2\theta>4\cos^2\theta.$$ $P=(x,y)$ とすると $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ であるから、これは $9y^2>4x^2$ と同値である。双曲線の式から $\displaystyle y^2=\frac94(x^2-4)$ なので、 $$\displaystyle 9\cdot\frac94(x^2-4)>4x^2 \quad\text{すなわち}\quad 65x^2>324.$$ もともと $x\geq2$ であり、$18/\sqrt{65}>2$ だから、求める範囲は $$\displaystyle x>\frac{18}{\sqrt{65}}.$$ 等号では $Q$ の方向の係数が0となり、有限の $s$ は存在しない。

(2) P と Q の双曲線の式を極座標で表すと $$\displaystyle \frac1{OP^2}=\frac{\cos^2\theta}{4}-\frac{\sin^2\theta}{9},\qquad \frac1{OQ^2}=\frac{\sin^2\theta}{4}-\frac{\cos^2\theta}{9}.$$ したがって $$\displaystyle \frac1{OP^2}+\frac1{OQ^2} =\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{4} -\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{9} =\frac14-\frac19=\frac5{36}.$$

(3) $OP\perp OQ$ より $PQ^2=OP^2+OQ^2$ である。また $$\displaystyle \frac{OP^2}{OQ^2}+\frac{OQ^2}{OP^2}-2 =\frac{(OP^2-OQ^2)^2}{OP^2OQ^2}\geq0$$ だから $$\displaystyle (OP^2+OQ^2)\left(\frac1{OP^2}+\frac1{OQ^2}\right) =2+\frac{OP^2}{OQ^2}+\frac{OQ^2}{OP^2}\geq4.$$ 等号は $OP=OQ$ のときに成り立つ。(2)を使うと $$\displaystyle PQ^2=OP^2+OQ^2\geq\frac{4}{5/36}=\frac{144}{5}, \qquad PQ\geq\frac{12}{\sqrt5}.$$ この等号は実際に達成できる。$P=(6/\sqrt5,6/\sqrt5)$、$Q=(6/\sqrt5,-6/\sqrt5)$ とすると、両点は $x\geq2$ の双曲線上にあり、$OP\perp OQ$、$OP=OQ$ である。このとき $PQ=12/\sqrt5$ となるので、これが最小値である。