1富山大学 2025年 数学 第1問解答・解説

$$\text{まず }x^6-3x^4+3x^2-1=(x^2-1)^3\text{ だから、} P(x)=x^3(x^2-1)^3(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3). \text{(1) }P(x)=(x^2-1)\{x^3(x^2-1)^2(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)\}\text{ と書け、波括弧内は整数係数多項式である。よって }x^2-1\text{ で割り切れる。} \text{(2) }6480=648\cdot10=(2^3\cdot3^4)(2\cdot5)=2^4\cdot3^4\cdot5. \text{(3) }n\ge2\text{ を整数とする。まず }2^4\text{ について、}n\text{ が偶数なら }2^3\mid n^3\text{ かつ }2\mid(n^2+2)\text{ なので }2^4\mid P(n).\text{ }n\text{ が奇数なら }n^2\equiv1\pmod8\text{ より }8\mid(n^2-1);\text{したがって }2^9\mid(n^2-1)^3\text{ であり、}2^4\mid P(n). \text{次に }3^4\text{ について、}3\mid n\text{ なら }27\mid n^3\text{ かつ }3\mid(n^2+3)\text{ なので }81\mid P(n).\text{ }3\nmid n\text{ なら }n^2\equiv1\pmod3\text{ だから }3\mid(n^2-1)\text{ および }3\mid(n^2+2).\text{ よって }27\mid(n^2-1)^3\text{ と }3\mid(n^2+2)\text{ から }81\mid P(n). \text{最後に }5\text{ について、}5\mid n\text{ なら }5\mid n^3.\text{そうでなければ }n^2\equiv1\text{ または }4\pmod5.\text{前者では }5\mid(n^2-1)\text{、後者では }5\mid(n^2+1)\text{ だから、いずれも }5\mid P(n). \text{以上より }16\mid P(n),\ 81\mid P(n),\ 5\mid P(n).\text{ }16,81,5\text{ は互いに素で、その積は }6480\text{ なので }6480\mid P(n).$$