3大阪大学 2015年 数学 第3問解答・解説

採用解説：第3問

(1)

まず $\sqrt{2}$ が有理数であると仮定し、互いに素な正の整数 $m,n$（$n>0$）を用いて $\sqrt{2}=m/n$ と表す。このとき $$m^2=2n^2$$ だから $m^2$ は偶数であり、$m$ は偶数である。$m=2k$ とおくと $n^2=2k^2$ となるので、$n$ も偶数となる。これは $m,n$ が互いに素であることに反する。よって $\sqrt{2}$ は無理数である。

次に $\sqrt[3]{3}=a/b$ と互いに素な整数 $a,b$（$b>0$）で表せると仮定する。すると $$a^3=3b^3.$$ 3で割った余りより、3の倍数でない整数の立方は3で割り切れない。したがって $3\mid a$ である。$a=3k$ とおくと $b^3=9k^3$ となり、同じ理由で $3\mid b$ となる。これは $a,b$ が互いに素であることに反する。よって $\sqrt[3]{3}$ も無理数である。

(2)

$r=\sqrt{2}p+\sqrt[3]{3}q$ とおく。仮定より $p,q,r$ は有理数である。$r-\sqrt{2}p=\sqrt[3]{3}q$ の両辺を3乗すると $$(r-\sqrt{2}p)^3=3q^3.$$ 展開して整理すると $$r^3+6rp^2-3q^3=\sqrt{2}p(3r^2+2p^2)$$ を得る。左辺は有理数である。もし $p\ne0$ なら $3r^2+2p^2>0$ なので、$p(3r^2+2p^2)$ は0でない有理数である。そのため右辺は無理数 $\sqrt{2}$ の0でない有理数倍となり、無理数である。これは左辺が有理数であることに反する。よって $p=0$ である。

$p=0$ を代入すると $r=\sqrt[3]{3}q$ となる。もし $q\ne0$ なら $\sqrt[3]{3}=r/q$ は有理数となり、(1)に反する。したがって $q=0$ であり、結論は $p=q=0$ である。