2大阪大学 2015年 数学 第2問解答・解説

$A=x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$ とおく。$|x|\le 1,\ |y|\le 1$より、$\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-y^2}$はともに実数である。したがって、 $$\begin{aligned} A&=x^2(1-y^2)+y^2(1-x^2)+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\\ &=\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\ge 0. \end{aligned}$$ また、 $$\begin{aligned} 1-A&=1-x^2-y^2+2x^2y^2-2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\\ &=\left(\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}-xy\right)^2\ge 0. \end{aligned}$$ よって、$A\le 1$である。以上から、$0\le A\le 1$が成り立つ。