4大阪大学 2015年 数学 第4問解答・解説

時刻 $t$（$0\leq t\leq1$）では、半径 $1$ の球 $A,B$ の中心はそれぞれ $(t,0,0)$、$(-t,0,0)$ にある。半空間 $C$ は $x\geq-1$ である。

半径 $1$ の球の高さ $h$ の球冠の体積を $H(h)$ とすると、断面積を積分して $$\displaystyle H(h)=\pi\int_{1-h}^{1}(1-z^2)\,dz =\pi h^2\left(1-\frac h3\right).$$

球 $A$ の最左端は $x=t-1\geq-1$ なので、$A$ はすべて $C$ に含まれる。球 $B$ の中心は $x=-t$ であり、$x=-1$ より左の部分は高さ $t$ の球冠である。したがって $$\displaystyle \operatorname{Vol}(B\cap C)=\frac{4\pi}{3}-H(t).$$ また、二球の中心間距離は $2t$ で、共通部分は中央面 $x=0$ を境に高さ $1-t$ の球冠二つからなる。よって $$\operatorname{Vol}(A\cap B)=2H(1-t).$$ $A\subset C$ より $A\cap B\subset C$ でもあるから、包除原理により $$\displaystyle \begin{aligned} V(t)&=\frac{4\pi}{3}+\left(\frac{4\pi}{3}-H(t)\right)-2H(1-t)\\ &=\boxed{\pi\left(\frac43+2t-t^2-\frac{t^3}{3}\right)}. \end{aligned}$$

(2) $$V'(t)=\pi(2-2t-t^2).$$ $0\leq t\leq1$ で $V'(t)=0$ となるのは $t=\sqrt3-1$ であり、これは区間内にある。導関数はこの値より前で正、その後で負だから、ここで最大となる。代入して $$\displaystyle \boxed{V_{\max}=V(\sqrt3-1)=\pi\left(2\sqrt3-\frac43\right) =\frac{2\pi}{3}(3\sqrt3-2)}.$$