25自治医科大学 2015年 数学 第25問解答・解説

$$\displaystyle A=\int_{-1}^{1}f(t)\,dt,\qquad B=\int_0^1\{f'(t)\}^2\,dt,\qquad C=\int_0^1f(t)\,dt$$ とおく。問題の等式は $$f(x)=3Ax^2+Bx+C$$ となるので、$f'(t)=6At+B$ である。

まず、$A$ の定義にこの式を代入すると、奇関数の積分が $0$ であることから $$\displaystyle A=\int_{-1}^{1}(3At^2+Bt+C)\,dt=2A+2C$$ となり、$\displaystyle C=-\frac{A}{2}$ を得る。また、$C$ の定義から $$\displaystyle C=\int_0^1(3At^2+Bt+C)\,dt=A+\frac{B}{2}+C$$ なので、$B=-2A$ である。

この関係を $B$ の定義に用いると、 $$\displaystyle \begin{aligned} B&=\int_0^1(6At+B)^2\,dt\\ &=A^2\int_0^1(6t-2)^2\,dt\\ &=A^2\left[12t^3-12t^2+4t\right]_0^1\\ &=4A^2. \end{aligned}$$ したがって $-2A=4A^2$、すなわち $2A(2A+1)=0$ である。条件 $\displaystyle C=\int_0^1f(t)\,dt\neq0$ と $\displaystyle C=-\frac{A}{2}$ より $A\neq0$ だから、$\displaystyle A=-\frac12$ であり、$\displaystyle C=\frac14$ となる。よって $$\displaystyle f(0)-\frac14=C-\frac14=0.$$

確認として、この場合 $B=-2A=1$ なので $$\displaystyle f(x)=-\frac32x^2+x+\frac14.$$ 実際、この式から $\displaystyle \int_{-1}^{1}f(t)\,dt=-\frac12$、$\displaystyle \int_0^1f(t)\,dt=\frac14\neq0$、$\displaystyle \int_0^1\{f'(t)\}^2\,dt=1$ となり、元の等式を満たす。共通の選択肢で $0$ に対応する記号は $\text{ア}$ である。