1北海道大学 2002年 数学 第1問解答・解説

（1）条件を積分の形に直し、$x\ne1$ で両辺を微分する。 $$\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt=(x-1)x^n=x^{n+1}-x^n$$ したがって $$f(x)=(n+1)x^n-nx^{n-1}\qquad(x\ne1).$$ $f$ は微分可能なので連続であり、$x\to1$ とすると $f(1)=1$ となる。この値は上の式を $x=1$ に代入した値とも一致する。また、この式を積分すると $$\displaystyle \int_1^x\bigl((n+1)t^n-nt^{n-1}\bigr)\,dt=[t^{n+1}-t^n]_1^x=(x-1)x^n$$ となるので、条件を満たす。

（2）条件を積分の形に直す。 $$\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt=\frac{x-a}{2}\bigl(f(x)+f(a)\bigr)\qquad(x\ne a)$$ $x$ について微分すると $$\displaystyle f(x)=\frac{f(x)+f(a)}2+\frac{x-a}{2}f'(x),$$ よって $$f(x)-f(a)=(x-a)f'(x).$$ この式を $x$ を固定して $a$ について微分すると、$f'(a)=f'(x)$ となる。したがって $f'$ は一定であり、$f(x)=cx+d$ と表せる。条件 $f(0)=1$, $f'(0)=2$ から $c=2$, $d=1$ である。実際、$f(x)=2x+1$ なら $$\displaystyle \int_a^x(2t+1)\,dt=(x-a)(x+a+1)=\frac{x-a}{2}\bigl((2x+1)+(2a+1)\bigr),$$ となり条件を満たす。