8長崎大学 2018年 数学 第8問解答・解説

(1) $n\ge1$ として部分積分を行うと、 $$\displaystyle \begin{aligned}F_n(x)&=\frac{1}{n!}\int_0^x t^ne^{-t}\,dt\\&=\left[-\frac{t^n}{n!}e^{-t}\right]_0^x+\frac{1}{(n-1)!}\int_0^x t^{n-1}e^{-t}\,dt\\&=F_{n-1}(x)-\frac{x^n}{n!}e^{-x}. \end{aligned}$$ 下端の境界項は $n\ge1$ より $0$ である。したがって、$n=2,1$ とすれば $$\displaystyle F_2(x)=F_1(x)-\frac{x^2}{2}e^{-x},\qquad F_1(x)=F_0(x)-xe^{-x}.$$

(2) $$\displaystyle F_0(x)=\int_0^x e^{-t}\,dt=1-e^{-x}.$$ これを (1) の関係に代入して $$\displaystyle F_1(x)=1-(x+1)e^{-x},\qquad F_2(x)=1-\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)e^{-x}.$$

(3) (1) の計算は任意の $n\ge1$ について成り立つので、 $$\displaystyle F_n(x)=F_{n-1}(x)-\frac{x^n}{n!}e^{-x}\qquad(n\ge1).$$ また $F_0(x)=1-e^{-x}$ である。これを初期値として上の漸化式を順に用いると、$n\ge0$ について $$\displaystyle \begin{aligned}F_n(x)&=1-e^{-x}-e^{-x}\left(x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)\\&=1-e^{-x}\sum\limits _{j=0}^{n}\frac{x^j}{j!}. \end{aligned}$$ $n=0$ のときも和は $1$ だけであり、同じ式が成り立つ。

(4) $p(x)=x^n$ の導関数は、$1\le k\le n$ に対して $$\displaystyle p^{(k)}(x)=n(n-1)\cdots(n-k+1)x^{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}.$$ $p^{(n+1)}(x)=0$ である。$\displaystyle S(t)=\sum\limits _{k=0}^{n}p^{(k)}(t)$ とおくと、積の微分法より $$\displaystyle \begin{aligned}\frac{d}{dt}\left(-e^{-t}S(t)\right)&=e^{-t}\bigl(S(t)-S'(t)\bigr)\\&=e^{-t}\left(\sum\limits _{k=0}^{n}p^{(k)}(t)-\sum\limits _{k=1}^{n+1}p^{(k)}(t)\right)\\&=e^{-t}p(t)=t^ne^{-t}. \end{aligned}$$ したがって、積分の基本性質から $$\displaystyle \int_0^x t^ne^{-t}\,dt=\left[-e^{-t}S(t)\right]_0^x=-e^{-x}\sum\limits _{k=0}^{n}p^{(k)}(x)+S(0).$$ $S(0)=n!$ である。実際、$n\ge1$ なら $k<n$ の各項は $0$ で、$p^{(n)}(0)=n!$ となり、$n=0$ でも $S(0)=p(0)=1=0!$ である。ゆえに $$\displaystyle \int_0^x t^ne^{-t}\,dt=n!-e^{-x}\sum\limits _{k=0}^{n}p^{(k)}(x),$$ が成り立つ。