4長崎大学 2018年 数学 第4問解答・解説

半径 $a$ の円が $x$ 軸上を滑ることなく正の方向に回転していくとき，円周上の2つの定点 $P$ と $Q$ の運動について考える。時刻 $t=0$ のとき $P$ は原点 $O$ にあり，$Q$ は点 $(0,2a)$ にある。円は毎秒1ラジアンの速さで回転する。このとき，点 $P$ の時刻 $t$ における座標 $(x,y)$ は $$x=a(t-\sin t),\qquad y=a(1-\cos t)$$ で表される。以下の問いに答えよ。

(1) 時刻 $t$ における円の中心 $C$ と点 $Q$ の座標を，それぞれ求めよ。

(2) 時刻 $t$ における点 $P$ の速度ベクトル $\displaystyle \vec{v}_{P}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)$ を求めよ。また，時刻 $t$ が $0\leq t\leq2\pi$ の範囲において，速さ $|\vec{v}_{P}|$ の最大値と最小値，およびその時の $P$ の座標を求めよ。

(3) 時刻 $t$ における点 $Q$ の速度ベクトル $\vec{v}_{Q}$ を求めよ。さらに，内積 $\vec{v}_{P}\cdot\vec{v}_{Q}$ を求めよ。

(4) 時刻 $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$ から $\displaystyle t=\frac{3\pi}{2}$ までの間に点 $P$ が動く道のり $L_{P}$ と，点 $Q$ が動く道のり $L_{Q}$ を，それぞれ求めよ。