2長崎大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1) 直線 $AB$ の傾きは $\displaystyle \dfrac{2a^2-a^2}{a-(-a)}=\dfrac{a}{2}$ である。点 $A(-a,a^2)$ を通るから、$$\displaystyle y-a^2=\frac{a}{2}(x+a),\qquad y=\frac{a}{2}x+\frac{3}{2}a^2.$$ また、2点間の距離より、$$|AB|=\sqrt{(a-(-a))^2+(2a^2-a^2)^2}=a\sqrt{a^2+4}.$$

(2) $-a\le x\le0$ では $AB$ と $C$ の差は $\displaystyle \dfrac{a}{2}x+\dfrac{3}{2}a^2-x^2=(a+x)(\dfrac{3a}{2}-x)\ge0$ であり、$0\le x\le a$ では $\displaystyle \dfrac{a}{2}x+\dfrac{3}{2}a^2-2x^2=(a-x)(2x+\dfrac{3a}{2})\ge0$ である。したがって求める面積は$$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_{-a}^{0}\left(\frac{a}{2}x+\frac{3}{2}a^2-x^2\right)\,dx+\int_{0}^{a}\left(\frac{a}{2}x+\frac{3}{2}a^2-2x^2\right)\,dx\\&=\frac{11}{12}a^3+\frac{13}{12}a^3=2a^3.\end{aligned}$$

(3) $A$ は $x<0$ の枝 $y=x^2$ 上にあり、その導関数は $2x$ だから、$A$ における接線は $y-a^2=-2a(x+a)$、すなわち $\ell:y=-2ax-a^2$ である。$B$ は $x>0$ の枝 $y=2x^2$ 上にあり、その導関数は $4x$ だから、$B$ における接線は $y-2a^2=4a(x-a)$、すなわち $m:y=4ax-2a^2$ である。交点では $-2ax-a^2=4ax-2a^2$ なので $\displaystyle x=\dfrac{a}{6}$、これを $\ell$ に代入して $\displaystyle y=-\dfrac{4}{3}a^2$ を得る。よって $\displaystyle D\left(\dfrac{a}{6},-\dfrac{4}{3}a^2\right)$ である。

(4) $AB$ と $\ell$ の傾きの積は $\displaystyle \dfrac{a}{2}(-2a)=-a^2$ である。垂直であるためにはこの積が $-1$ だから、$a>0$ より $a=1$ である。このとき $A=(-1,1)$、$B=(1,2)$、$\displaystyle D=(\dfrac16,-\dfrac43)$、$\ell:y=-2x-1$、$m:y=4x-2$ となる。曲線を上側、線分 $AD$ と線分 $DB$ を下側とする領域について、$x=0$ で曲線の式が切り替わり、下側の直線が $\displaystyle x=\dfrac16$ で切り替わる。したがって$$\displaystyle \begin{aligned}T&=\int_{-1}^{0}\bigl(x^2-(-2x-1)\bigr)\,dx+\int_{0}^{1/6}\bigl(2x^2-(-2x-1)\bigr)\,dx+\int_{1/6}^{1}\bigl(2x^2-(4x-2)\bigr)\,dx\\&=\frac13+\frac{16}{81}+\frac{125}{324}=\frac{11}{12}.\end{aligned}$$