2金沢医科大学 2024年 2日目 数学 第2問解答・解説

①と②の交点の $x$ 座標は $$2x^2+4x-16=-x^2-8x+20 \quad\text{すなわち}\quad 3x^2+12x-36=0 \quad\text{すなわち}\quad (x+6)(x-2)=0$$ より $x=-6,2$ である。①に代入すると、交点は $A(2,0)$、$B(-6,32)$ となる。したがって直線 $\ell_1$ の傾きは $$\displaystyle \frac{32-0}{-6-2}=-4$$ であり、$A$ を通るので $\ell_1:y=-4x+8$。

交点の $x$ 座標の間 $-6\le x\le2$ で、 $$\ell_1-(2x^2+4x-16)=-2(x+6)(x-2)=2(x+6)(2-x),$$ $$(-x^2-8x+20)-\ell_1=-(x+6)(x-2)=(x+6)(2-x).$$ よって2つの面積は $$\displaystyle S_1=2\int_{-6}^{2}(x+6)(2-x)\,dx =2\int_0^8t(8-t)\,dt=\frac{512}{3},$$ $$\displaystyle S_2=\int_{-6}^{2}(x+6)(2-x)\,dx=\frac{256}{3}.$$ したがって最も簡単な整数比は $S_1:S_2=2:1$ である。

①、②を平方完成すると $$2x^2+4x-16=2(x+1)^2-18,\qquad -x^2-8x+20=-(x+4)^2+36,$$ よって頂点は $C(-1,-18)$、$D(-4,36)$。対角線 $AB$ は $y=-4x+8$、すなわち $4x+y-8=0$ であり、$|AB|=\sqrt{8^2+32^2}=8\sqrt{17}$ である。直線 $AB$ から $C,D$ までの距離はそれぞれ $$\displaystyle \frac{|4(-1)-18-8|}{\sqrt{17}}=\frac{30}{\sqrt{17}},\qquad \frac{|-16+36-8|}{\sqrt{17}}=\frac{12}{\sqrt{17}}.$$ 対角線 $AB$ で四角形 $ACBD$ を2つの三角形に分けると、面積は $$\displaystyle \frac12\,8\sqrt{17}\left(\frac{30}{\sqrt{17}}+\frac{12}{\sqrt{17}}\right)=168.$$

②の導関数は $-2x-8$ である。$A$ における接線は傾き $-12$ なので $\ell_2:y=-12x+24$、$B$ における接線は傾き $4$ なので $\ell_3:y=4x+56$。連立して交点は $M(-2,48)$ となる。点 $M$ から $AB$ までの距離は $$\displaystyle \frac{|4(-2)+48-8|}{\sqrt{17}}=\frac{32}{\sqrt{17}}.$$ したがって $$\displaystyle [ABM]=\frac12\,|AB|\cdot\frac{32}{\sqrt{17}} =\frac12\,8\sqrt{17}\cdot\frac{32}{\sqrt{17}}=128.$$