1金沢医科大学 2024年 2日目 数学 第1問解答・解説

図の線分を隣接関係で表すと、各点の隣は $$O:A,B,C;\quad A:O,D,E;\quad B:O,C,E;\quad C:O,B,D;\quad D:A,C,E;\quad E:A,B,D$$ である。どの点からも隣の点は3個なので、長さ $n$ の各移動列の確率は $3^{-n}$ である。各点にいる移動列の個数を、順に $(O,A,B,C,D,E)$ と並べたベクトル $N_n$ で表す。図の隣接関係から $$N_0=(1,0,0,0,0,0),\quad N_1=(0,1,1,1,0,0),\quad N_2=(3,0,1,1,2,2),\quad N_3=(2,7,6,6,3,3),\quad N_4=(19,8,11,11,16,16)$$ となる。例えば各段階では、ある点に到着する列数はその点の隣にいた前段階の列数の和である。

(1) 3秒後に $D$ にいる移動列は $N_3$ の $D$ 成分より3個である。したがって確率は $3/3^3=1/9$。

(2) 3秒後に $B$ にいる移動列は $N_3$ の $B$ 成分より6個である。したがって確率は $6/3^3=2/9$。

(3) 4秒後に $E$ にいる移動列は $N_4$ の $E$ 成分より16個である。したがって確率は $16/3^4=16/81$。

(4) 同じ線分を二度使わない移動列を数える。最初に $O\to A$ と進む場合、条件を満たして $C$ に着く列は $O\to A\to E\to B\to C$ と $O\to A\to E\to D\to C$ の2通りである。最初に $O\to B$ と進む場合は $O\to B\to E\to D\to C$ の1通りであり、最初に $O\to C$ と進む場合は該当する列はない。よって該当列は計3通りで、各列の確率は $1/3^4$ だから、求める確率は $3/81=1/27$。

(5) 5秒後に $O$ にいる移動列は、4秒後に $A,B,C$ にいる列から最後に $O$ へ移るものなので、その個数は $N_4$ の3成分の和 $8+11+11=30$ である。したがって確率は $$\displaystyle \frac{30}{3^5}=\frac{30}{243}=\frac{10}{81}.$$ 以上は各段階で図の隣接関係を使って数えたものであり、移動確率が一様に $1/3$ であることとも一致する。