2北海道大学 2002年 数学 第2問解答・解説

数え方の確認 $n$ は桁数なので $n\ge1$。先頭の数字 $a$ は 1〜9 の 9 通り、もう一方の数字 $b$ は $a$ 以外の 0〜9 から選ぶ 9 通りである。残り $n-1$ 桁には $a,b$ のどちらかを置き、$b$ を少なくとも1回使う。並べ方は全 $2^{n-1}$ 通りから $b$ を使わない1通りを除いた $2^{n-1}-1$ 通りとなる。各数から先頭の数字 $a$ と他方の数字 $b$ が一意に定まるため、重複計数はない。 $$9\cdot9\cdot(2^{n-1}-1)=81(2^{n-1}-1)\qquad(n\ge1).$$ $n=1$ では式が 0 となり、ちょうど2種類の数字を含めないことと一致する。(1) は $n=4$ を代入して $81(2^3-1)=567$。原文の両問に対して旧答の数式は整合する。