4北海道大学 2002年 数学 第4問解答・解説

・ $\displaystyle \theta=\dfrac{2\pi}{n}$ とおくと、ド・モアブルの定理より $\alpha^k=\cos(k\theta)+i\sin(k\theta)$ である。また $\overline{\alpha}=\cos\theta-i\sin\theta$ だから、$\overline{\alpha}^{\,k}=\cos(k\theta)-i\sin(k\theta)$ となる。よって $\displaystyle \alpha^k+\overline{\alpha}^{\,k}=2\cos\dfrac{2\pi k}{n}$。

・ $\alpha^0,\alpha^1,\ldots,\alpha^{n-1}$ は相異なる $x^n=1$ の根である。したがって因数定理より $\displaystyle x^n-1=(x-1)\prod\limits _{k=1}^{n-1}(x-\alpha^k)$。一方、$x^n-1=(x-1)(1+x+\cdots+x^{n-1})$ なので、$\displaystyle \prod\limits _{k=1}^{n-1}(x-\alpha^k)=1+x+\cdots+x^{n-1}$。ここで $x=1$ とすれば $\displaystyle \prod\limits _{k=1}^{n-1}(1-\alpha^k)=n$。

・ (2) の両辺の絶対値をとる。$1\le k\le n-1$ について $\displaystyle 0<\dfrac{k\pi}{n}<\pi$ だから、$\displaystyle \sin\dfrac{k\pi}{n}>0$ であり、$\displaystyle \left|1-\alpha^k\right|=\sqrt{\left(1-\cos\dfrac{2\pi k}{n}\right)^2+\sin^2\dfrac{2\pi k}{n}}=2\sin\dfrac{k\pi}{n}$。よって $\displaystyle n=\prod\limits _{k=1}^{n-1}\left|1-\alpha^k\right|=2^{n-1}\prod\limits _{k=1}^{n-1}\sin\dfrac{k\pi}{n}$。両辺を $2^{n-1}$ で割れば、(3) を得る。