5北海道大学 2002年 数学 第5問解答・解説

直線 $\ell$ の方向ベクトルを $\vec v=(-1,2,0)$ とおくと、$P=(1-t,2t,0)$ と表せる。$\vec a=\overrightarrow{RP}=(1-t,2t,-2)$、$\vec w=\overrightarrow{PQ}$ とおけば、$\overrightarrow{RQ}=\vec a+\vec w$ である。条件から $\vec w\cdot\vec v=0$、$\vec w\cdot(\vec a+\vec w)=0$ なので、$\vec a\cdot\vec w=-|\vec w|^2$。また $Q$ は中心 $R$、半径 $1$ の球面上にあるから、$|\vec a+\vec w|^2=1$ であり、これと上式から $|\vec w|^2=|\vec a|^2-1=5t^2-2t+4>0$ を得る。

$\vec a_\perp$ を $\vec a$ の $\vec v$ に垂直な平面への成分とする。$\vec w\cdot\vec v=0$ より $\vec a\cdot\vec w=\vec a_\perp\cdot\vec w$ である。長さ $|\vec w|$ のベクトル $\vec w$ をその平面内で動かしたとき、$\vec a_\perp\cdot\vec w=-|\vec w|^2$ を満たせる条件は $|\vec w|^2\le |\vec a_\perp||\vec w|$ である。ここで $|\vec v|^2=5$、$\vec a\cdot\vec v=5t-1$ だから、$|\vec a_\perp|^2=|\vec a|^2-(5t-1)^2/5$。よって存在条件は $(5t-1)^2\le5$、すなわち $\displaystyle \frac{1-\sqrt5}{5}\le t\le\frac{1+\sqrt5}{5}$ となる。

さらに $\displaystyle |PQ|^2=|\vec w|^2=5t^2-2t+4=5(t-\frac15)^2+\frac{19}{5}$ である。$\displaystyle t=\frac15$ は存在範囲に含まれるため、このとき最小となる。したがって $\displaystyle P=(\frac45,\frac25,0)$。