3日本大学 2010年 数学 第3問解答・解説

正八角形を図の向きに置くと、$\vec a=\overrightarrow{OA}$、$\vec b=\overrightarrow{OC}$は長さ1で直交する。中心角は$45^\circ$だから $$\displaystyle \overrightarrow{OB}=\frac{\vec a+\vec b}{\sqrt2},\qquad \overrightarrow{OE}=-\vec a,\qquad \overrightarrow{OG}=-\vec b,\qquad \overrightarrow{OF}=-\overrightarrow{OB}.$$ 　 (1) $BP:PE=(1-k):k$より$\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OB}+(1-k)\overrightarrow{OE}$である。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{GP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OG}=\left(k\left(1+\frac1{\sqrt2}\right)-1\right)\vec a+\left(1+\frac{k}{\sqrt2}\right)\vec b.$$ 　 (2) $r=1/\sqrt2$とおく。$\vec a,\vec b$は直交単位ベクトルなので $$|\overrightarrow{GP}|^2=\{(1+r)k-1\}^2+(1+rk)^2=2(1+r)k^2-2k+2.$$ 平方完成すると $$\displaystyle |\overrightarrow{GP}|^2=2(1+r)\left(k-\frac1{2(1+r)}\right)^2+2-\frac1{2(1+r)}.$$ よって$0<k<1$の範囲で最小となるのは$\displaystyle k=\dfrac1{2(1+1/\sqrt2)}=1-\dfrac1{\sqrt2}$である。 　 (3) 三角形$BEF$の重心を$M$とする。$F=-B$なので $$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}}3=-\frac13\vec a.$$ (1)より$\overrightarrow{OP}=\{(1+r)k-1\}\vec a+rk\vec b$、また$\overrightarrow{OG}=-\vec b$である。$M$が直線$GP$上にある条件は、$\overrightarrow{GM}=t\overrightarrow{GP}$となる実数$t$が存在することである。$\vec b$成分から$t=1/(1+rk)$、$\vec a$成分から$t\{(1+r)k-1\}=-1/3$を得る。したがって $$\displaystyle 3\{(1+r)k-1\}+1+rk=0,\qquad k=\frac2{3+4r}=\frac2{3+2\sqrt2}=6-4\sqrt2.$$ この値は$0<k<1$であり、$t=1/(1+rk)$も$0<t<1$なので、重心は線分$GP$上にある。