4日本大学 2010年 数学 第4問解答・解説

$\angle C=15^\circ$である。$AC=\sqrt6+\sqrt2$と正弦定理から $$\displaystyle AB=AC\sin15^\circ=(\sqrt6+\sqrt2)\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}=1,$$ よって$\displaystyle AD=\dfrac12$である。$\phi=\angle AED=\angle CEF$とおく。 　 (1) $E$は$AC$上にあるから$\angle EAD=\angle A=75^\circ$。また、$G$は$AC$上、$F$は$BC$上なので$\angle FCG=\angle ACB=15^\circ$。$FB$と$FC$は反対向きの半直線であるため $$\angle CFE=180^\circ-\angle BFE=180^\circ-\angle CFG.$$ 三角形$CEF$の内角和から$\angle CFE=180^\circ-15^\circ-\phi=165^\circ-\phi$なので、$\angle BFE=15^\circ+\phi$。三角形$CFG$では $$15^\circ+(15^\circ+\phi)+90^\circ=180^\circ,$$ したがって$\phi=60^\circ$である。三角形$AED$の残りの角は$\angle ADE=45^\circ$。正弦定理より $$\displaystyle AE=AD\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ}=\frac12\cdot\frac{\sqrt2/2}{\sqrt3/2}=\frac{\sqrt6}{6}.$$ 　 (2) 三角形$CEF$の角は$C=15^\circ,E=60^\circ,F=105^\circ$である。正弦定理から $$\displaystyle CF=CE\frac{\sin60^\circ}{\sin105^\circ}.$$ 三角形$CFG$は$C=15^\circ,F=75^\circ,G=90^\circ$だから、$CG=CF\sin75^\circ$。$\sin105^\circ=\sin75^\circ$より $$\displaystyle CG=CE\sin60^\circ=(AC-AE)\frac{\sqrt3}{2} =\left(\sqrt6+\sqrt2-\frac{\sqrt6}{6}\right)\frac{\sqrt3}{2} =\frac{5\sqrt2+2\sqrt6}{4}.$$