1近畿大学 2009年 数学 第1問解答・解説

正12角形の中心角は $360^\circ/12=30^\circ$ である。二等辺三角形 $OAB$ の底角は等しいから $$\displaystyle \angle OAB=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ.$$ 加法定理を用いると $$\displaystyle \sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\qquad \cos75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$ また、辺 $AB=1$ は中心角 $30^\circ$ に対する弦なので、外接円の半径 $R=AO$ は $$\displaystyle 1=2R\sin15^\circ,qquad \sin15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$ より $$\displaystyle AO=R=\frac{2}{\sqrt6-\sqrt2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2},\qquad R^2=2+\sqrt3.$$ 中心から12頂点へ引いた線分で正12角形を12個の三角形に分けると $$\displaystyle S=12\cdot\frac12R^2\sin30^\circ=3R^2=6+3\sqrt3.$$ 正6角形 $ACEGIK$ の隣り合う頂点の中心角は $60^\circ$ なので、その一辺は $2R\sin30^\circ=R$ である。したがって $$\displaystyle T=6\cdot\frac{\sqrt3}{4}R^2=\frac{3\sqrt3}{2}(2+\sqrt3)=\frac92+3\sqrt3.$$ いずれも根号内に根号を含まず、半径の有理化後の分母は有理数である。