1東京医科歯科大学 2001年 数学 第1問解答・解説

(1) $z=1$ なら左辺は $5$ となるので $z\ne1$。与式に $z-1$ を掛けると $z^5-1=0$ である。5は素数だから、$z$ は1でない5乗根であり、$z,z^2,z^3,z^4$ は1以外の5乗根をすべて与える。したがって $$\displaystyle 1+X+X^2+X^3+X^4=\prod\limits _{k=1}^4(X-z^k).$$ $X=1$ を代入すると、求める値は $$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)=1+1+1+1+1=5.$$

(2) $\lvert\omega\rvert=1$、偏角が $2\theta$ なので $\omega=\cos2\theta+i\sin2\theta$。よって $$r^2=\lvert1-\omega\rvert^2=(1-\cos2\theta)^2+\sin^22\theta=2-2\cos2\theta=4\sin^2\theta.$$ $0\leq\theta<\pi$ では $\sin\theta\geq0$ であるから $r=2\sin\theta$、従って $\sin\theta=r/2$。

(3) $\zeta=e^{2\pi i/5}$ とおくと $1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4=0$。(1)より $$\displaystyle \prod\limits _{k=1}^4(1-\zeta^k)=5.$$ 各 $k=1,2,3,4$ について $0<k\pi/5<\pi$ なので $$\lvert1-\zeta^k\rvert=\sqrt{2-2\cos(2k\pi/5)}=2\sin(k\pi/5).$$ 両辺の絶対値を取ると $$\displaystyle 5=\prod\limits _{k=1}^4\lvert1-\zeta^k\rvert=16\prod\limits _{k=1}^4\sin(k\pi/5),$$ 従って求める積は $5/16$ である。