2岡山大学 2020年 数学 第2問解答・解説

・ $r=|\alpha|>0$ とおくと、$\alpha=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ である。$|\alpha-i|=1$ より $$(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta-1)^2=1$$ となる。整理すると$r^2-2r\sin\theta=0$、すなわち$r(r-2\sin\theta)=0$ である。$r>0$ だから $$|\alpha|=r=2\sin\theta.$$

・ (1)を用いて $$\beta=-\alpha+2i=-2\sin\theta\cos\theta+2i(1-\sin^2\theta)=-\sin2\theta+2i\cos^2\theta$$ と表せる。$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ より$\sin2\theta>0$、$\cos^2\theta>0$ なので、$\operatorname{Re}\beta<0$、$\operatorname{Im}\beta>0$ であり、$\beta$ は第2象限にある。$\varphi=\arg\beta$ とすると$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\varphi<\pi$ であり、 $$\displaystyle \tan(\pi-\varphi)=\frac{\operatorname{Im}\beta}{-\operatorname{Re}\beta}=\frac{2\cos^2\theta}{\sin2\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right).$$ ここで$\pi-\varphi$ と$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta$ はともに$0$と$\displaystyle \frac{\pi}{2}$の間にあるので、両者は等しい。したがって $$\displaystyle \arg\beta=\varphi=\frac{\pi}{2}+\theta.$$

・ $\displaystyle p=\frac{1}{\sqrt3}$ とおく。(1)および$\beta$の表示から、各点の座標は $$A=(\sin2\theta,\,2\sin^2\theta),\qquad B=(-\sin2\theta,\,2\cos^2\theta),\qquad P=(p,0)$$ である。$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ より$A,B$の$y$座標はともに正であるから、3点が一直線上にある条件は $$\displaystyle \frac{\sin2\theta-p}{2\sin^2\theta}=\frac{-\sin2\theta-p}{2\cos^2\theta}$$ である。分母を払って整理すると $$\displaystyle (\sin2\theta-p)\cos^2\theta=(-\sin2\theta-p)\sin^2\theta \quad\text{すなわち}\quad \sin2\theta=p(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=\frac{1}{\sqrt3}\cos2\theta.$$ $\sin2\theta>0$ なのでこの等式から$\cos2\theta>0$ も分かる。$0<2\theta<\pi$ と合わせると$\displaystyle 0<2\theta<\frac{\pi}{2}$ であり、 $$\displaystyle \tan2\theta=\frac{1}{\sqrt3}$$ となる。この範囲で$\displaystyle 2\theta=\frac{\pi}{6}$ だから、求める値は $$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}.$$