1岡山大学 2020年 数学 第1問解答・解説

袋Aの白玉数が変わらないのは、最初に袋Aから取り出した玉と同じ色の玉が袋Bから戻る場合に限る。

(1) 最初に白玉を移す確率は $\displaystyle \frac25$ で、その後に袋Bから白玉を戻す確率は $\displaystyle \frac{x+1}{x+y+1}$ である。最初に赤玉を移す確率は $\displaystyle \frac35$ で、その後に赤玉を戻す確率は $\displaystyle \frac{y+1}{x+y+1}$ である。よって $$\displaystyle p=\frac25\cdot\frac{x+1}{x+y+1}+\frac35\cdot\frac{y+1}{x+y+1} =\frac{2x+3y+5}{5(x+y+1)}.$$ $x=10,\ y=23$ を代入すると $$\displaystyle p=\frac{20+69+5}{5\cdot34}=\frac{94}{170}=\frac{47}{85}.$$

(2) $x,y$ は正の整数なので、上の分母は正である。条件 $\displaystyle p=\frac{47}{85}$ は $$17(2x+3y+5)=47(x+y+1),\qquad 13x-4y=38$$ と同値である。後式を $4$ を法として見ると $x\equiv2\pmod4$ だから、$x=4k+2$ とおける。これを代入して $y=13k-3$ を得る。

$1\le x\le1000$ から $0\le k\le249$、$1\le y\le1000$ から $1\le k\le77$ となる。従って共通範囲は $k=1,2,\ldots,77$ であり、各 $k$ は相異なる組 $(x,y)=(4k+2,13k-3)$ をちょうど1つ与える。よって $77$ 組である。