1千葉大学 2020年 数学 第1問解答・解説

【追加仮定（原文に明記なし）】小問(2)では、二人のカードの並べ替えがそれぞれ一様で、互いに独立であると仮定します。47/72は、この確率モデルの下での値です。

(1)　 X の異なる並び方は $\displaystyle \frac{4!}{2!}$=12 通りであり，重複する数字 2 のカードを区別しても各並びの確率は等しい。 X が 4 の倍数となるかは下二桁で決まる。与えられた数字で作れる下二桁のうち 4 の倍数は 12,24 である。 下二桁が 12 のとき残る 2,4 の並べ方は 2 通り，下二桁が 24 のとき残る 1,2 の並べ方も 2 通り。したがって $$\displaystyle P(X\text{ が }4\text{ の倍数})=\frac{2+2}{12}=\boxed{\frac13}.$$

(2)　 Y の異なる並び方は $\displaystyle \frac{4!}{2!2!}$=6 通りで， $$2233,\ 2323,\ 2332,\ 3223,\ 3232,\ 3322$$ である。 X の 12 通りのうち，先頭が 1 のものは 1224,1242,1422 の 3 通りで，いずれもすべての Y より小さい。先頭が 4 のものは 4122,4212,4221 の 3 通りで，いずれもすべての Y より大きい。 X の先頭が 2 のものは $$2124,\ 2142,\ 2214,\ 2241,\ 2412,\ 2421$$ である。 Y の先頭が 3 の 3 通りはこれらすべてより大きいので 18 組が該当する。 Y の先頭が 2 の 2233,2323,2332 と比べると， 2124,2142,2214 は各 3 通りすべてより小さく， 2241 は 2323,2332 の 2 通りより小さい。 2412,2421 は該当しない。よってこの場合は 3$\cdot$3+2=11 組である。 したがって X<Y となる組は 3$\cdot$6+18+11=47 組。全組数は 12$\cdot$6=72 だから $$\displaystyle P(X<Y)=\frac{47}{72}.$$