10千葉大学 2020年 数学 第10問解答・解説

$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2ab\,i$ だから、仮定より $$x=a^2-b^2\text{ は整数},\qquad y=2ab\text{ は整数}.$$ $s=a^2+b^2$ は有理数であり、 $$s^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=x^2+y^2\text{ は整数}.$$ 有理数 $s=m/n$ を既約分数（$n>0$）で表すと、$s^2$ が整数であることから $n^2\mid m^2$。$\gcd(m,n)=1$ なので $n=1$、よって $s\text{ は整数}$。従って $$2a^2=s+x\text{ は整数},\qquad 2b^2=s-x\text{ は整数}.$$

ここで、有理数 $q=r/t$ を既約分数（$t>0$）とし、$2q^2\text{ は整数}$ とする。

このとき $t^2\mid2r^2$ である。$\gcd(r,t)=1$ だから、$t^2\mid2$。正整数 $t$ は1である。よって $q\text{ は整数}$。この補題を $q=a$ と $q=b$ に適用すると、$a,b$ はともに整数である。