2名古屋大学 2020年 数学 第2問解答・解説

$p=m^2+1,\ q=m^4+1$ とおく。$2,p,q$ は相異なる素数なので $m\ge2$、$p\ge5$、$q>p$ である。

(1) $a=2$ のときは $a^2=4<pq$。$a=p$ のときは $$2q-p^2=2(m^4+1)-(m^2+1)^2=(m^2-1)^2>0$$ より $p^2<2q$。一方 $a=q$ なら $q^2>2p$ である。実際 $q>p$ かつ $q>2$ だから $q^2>2p$。したがって条件を満たすのは $$a=2,\quad a=m^2+1$$ である。

(2) $u=x+y$ とおくと $x^2+2xy+2y^2=(x+y)^2+y^2=u^2+y^2$ なので $$u(u^2+y^2)=2pq.$$ また $0<y<u$ より $$u^3<2pq<2u^3. \tag{1}$$ $u$ は $2pq$ の約数であり、$2,p,q$ は相異なる素数だから $$u\text{ は }2,p,q,2p,2q,pq,2pq\text{ のいずれか}.$$ $q>2p$ であり、また $q<p^2$ である。$u\ge q$ なら $u^3\ge q^3>2pq$ となり (1) に反する。$u=2p$ なら $u^3=8p^3>2pq$（$q<p^2$）となり (1) に反する。$u=2$ なら上側不等式 $2pq<2u^3=16$ に反する。実際、$m\ge2$ より $p\ge5, q\ge17$ だから $2pq\ge170>16$。したがって $u=p$ である。

このとき $$\displaystyle y^2=\frac{2pq}{p}-p^2=2q-p^2=(m^2-1)^2.$$ $y>0$ なので $y=m^2-1$、したがって $$x=u-y=(m^2+1)-(m^2-1)=2.$$ よって唯一の組は $(x,y)=(2,m^2-1)$ である。代入すると左辺は $(m^2+1)\,2(m^4+1)$ となり、条件を満たすことも確かめられる。