3名古屋大学 2020年 数学 第3問解答・解説

(1) $0\le t\le\pi$ に対して $$S(t)=f(\pi-t)+f(\pi+t)$$ とおく。$0<t<\pi$ では微分して $$S'(t)=-f'(\pi-t)+f'(\pi+t)=f'(\pi+t)-f'(\pi-t)>0.$$ 最後の不等式は $f''>0$ より $f'$ は変数が大きくなると値も必ず大きくなり、$\pi+t>\pi-t$ であることから従う。よって $S$ は $0\le t\le\pi$ で増加する。また $$F(x)=S(\pi-x)-S(x).$$ $0\le x\le\pi/2$ なら $\pi-x\ge x$ だから、$S$ の増加性より $$\boxed{F(x)\ge0}.$$

(2) 求める積分を $I$ とする。$\pi\le x\le2\pi$ の範囲で $u=2\pi-x$ と置換すると $$\displaystyle I=\int_0^\pi \{f(x)+f(2\pi-x)\}\cos x\,dx.$$ ここで $H(x)=f(x)+f(2\pi-x)$ とおく。積分区間を $0\le x\le\pi/2$ と $\pi/2\le x\le\pi$ に分け、後半で $u=\pi-x$ と置換する。$\cos(\pi-u)=-\cos u$ なので $$\displaystyle \begin{aligned} I&=\int_0^{\pi/2}\{H(x)-H(\pi-x)\}\cos x\,dx\\ &=\int_0^{\pi/2}F(x)\cos x\,dx. \end{aligned}$$ (1)より $F(x)\ge0$ であり、この区間では $\cos x\ge0$。従って $$\displaystyle \boxed{\int_0^{2\pi}f(x)\cos x\,dx\ge0}.$$

(3) $g'(x)<0$ なので、平均値の定理から $g$ は $0\le x\le2\pi$ では、$x$ が大きくなると値は必ず小さくなる。積分を前半・後半に分け、後半の変数を $x+\pi$ と書き直すと $$\displaystyle \begin{aligned} J&=\int_0^{2\pi}g(x)\sin x\,dx\\ &=\int_0^\pi\{g(x)-g(x+\pi)\}\sin x\,dx. \end{aligned}$$ $0\le x<\pi$ では $x<x+\pi$ だから $g(x)-g(x+\pi)>0$。また $0\le x\le\pi$ で $\sin x\ge0$ であり、内点では正である。よって積分は実際には正で、特に $$\displaystyle \boxed{\int_0^{2\pi}g(x)\sin x\,dx\ge0}.$$