4筑波大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1) $$\displaystyle I_1=\int_0^{\pi/4}\cos2\theta\,d\theta =\left[\frac12\sin2\theta\right]_0^{\pi/4} =\frac12.$$ $u=\cos\theta$ とおくと $$\displaystyle I_2=\int_{1/\sqrt2}^{1}(2u^2-1)\,du =\left[\frac23u^3-u\right]_{1/\sqrt2}^{1} =\frac{\sqrt2-1}{3}.$$ また $\sin^2\theta=(1-\cos2\theta)/2$ より $$\displaystyle I_3=\frac12\left(I_1-\int_0^{\pi/4}\cos^22\theta\,d\theta\right) =\frac12\left(\frac12-\frac{\pi}{8}\right) =\frac{4-\pi}{16}.$$ (2) 微分すると $$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\cos\theta>0,\qquad \frac{dy}{d\theta}=2\cos2\theta\ge0, \qquad \frac{dy}{dx}=\frac{2\cos2\theta}{\cos\theta}.$$ 端点は $\theta=0$ で $(-\sqrt2/2,0)$、$\theta=\pi/4$ で $(0,1)$。さらに $$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} =\frac{1}{\cos\theta}\frac{d}{d\theta} \left(\frac{2\cos2\theta}{\cos\theta}\right) =-\frac{2\sin\theta(3\cos^2\theta+\sin^2\theta)}{\cos^3\theta}\le0.$$ したがって曲線はこの二点を結ぶ単調増加の上に凸な曲線であり、接線の傾きは始点で $2$、終点で $0$ となる。概形は次の図のとおりである。

(3) $x\le0$ なので、$y$ を固定した回転断面は半径 $-x$ の円板である。$y$ は $\theta$ とともに $0$ から $1$ まで増加するから、媒介変数で $$\displaystyle V=\pi\int_0^{\pi/4}x(\theta)^2\frac{dy}{d\theta}\,d\theta =2\pi\int_0^{\pi/4} \left(\sin\theta-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2\cos2\theta\,d\theta.$$ 展開して (1) の積分を用いると $$\displaystyle V=2\pi\left(I_3-\sqrt2 I_2+\frac12I_1\right) =\frac{\pi}{24}(16\sqrt2-8-3\pi).$$