6筑波大学 2020年 数学 第6問解答・解説

(1) $z=x+iy$ とおくと $$z\bar z=x^2+y^2,\qquad (1+3i)z+(1-3i)\bar z=2x-6y.$$ したがって与式は $$x^2+y^2+2x-6y+9=0 \text{すなわち } (x+1)^2+(y-3)^2=1.$$ よって $C$ は複素数平面上で中心 $-1+3i$、半径 $1$ の円である。

(2) $w=u+iv$ とおくと $A=(2u-1,0)$、$B=(2u+1,0)$ なので $AB=2$。点 $P=(u,v)$ から実軸への距離は $|v|$ であり、 $$\displaystyle [\triangle PAB]=\frac12\cdot 2\cdot |v|=|v|.$$ $P$ は円 $C$ 上にあるので $(u+1)^2+(v-3)^2=1$、したがって $2\le v\le4$。面積が最大となるのは $v=4$ のときで、このとき $u=-1$、ゆえに $w=-1+4i$ である。最大面積は $4$。

このとき $A=(-3,0)$、$B=(-1,0)$、$P=(-1,4)$ で、$AB\perp BP$。直角三角形の外接円の中心は斜辺 $AP$ の中点だから $$\displaystyle \left(\frac{-3+(-1)}2,\frac{0+4}2\right)=(-2,2).$$ また $AP=\sqrt{(2)^2+4^2}=2\sqrt5$ より外接円の半径は $\sqrt5$。