3筑波大学 2020年 数学 第3問解答・解説

直線$\ell$の傾きは$\sqrt3$、$m$の傾きは$-1/\sqrt3$なので互いに垂直である。$x_1=1$。

(1) $x_n$ $Q_{n-1}=(x_{n-1},-x_{n-1}/\sqrt3)$を通り$\ell$に平行な直線の傾きは$\sqrt3$。これが$x$軸と交わる点の座標は $$\displaystyle 0+\frac{x_{n-1}}{\sqrt3}=\sqrt3(x_n-x_{n-1}) \quad\text{より}\quad x_n=\frac43x_{n-1}.$$ 初項$x_1=1$より $$\displaystyle \boxed{x_n=\left(\frac43\right)^{n-1}}.$$

(2) $a_n$ $|OP_n|=2n$、$|OQ_n|=2x_n/\sqrt3$であり、$OP_n\perp OQ_n$。したがって $$\displaystyle a_n=\frac12|OP_n||OQ_n|=\frac{2n}{\sqrt3}x_n =\boxed{\frac{2n}{\sqrt3}\left(\frac43\right)^{n-1}}.$$

(3) $S_n$ $r=4/3$とすると $$\displaystyle S_n=\frac2{\sqrt3}\sum\limits _{k=1}^n kr^{k-1} =\frac2{\sqrt3}\frac{1-(n+1)r^n+nr^{n+1}}{(1-r)^2}.$$ $r=4/3$を代入して整理すると $$\displaystyle \boxed{S_n=\frac2{\sqrt3}\left\{9+3(n-3)\left(\frac43\right)^n\right\} =6\sqrt3+2\sqrt3(n-3)\left(\frac43\right)^n}.$$

高校範囲・論証： 直線の傾きと交点、垂直な線分を直角二辺とする三角形の面積、等比数列とその和を用いた。単元： 数学II「図形と方程式」、数学B「数列」。方法： 直線の交点から漸化式を立て、等比数列化した面積を有限和公式で合計。公式・定理： 直線の方程式、三平方の定理、三角形の面積、等比数列と等差×等比の和。テーマ： 垂直な2直線上の点の漸化式と三角形面積和。