1筑波大学 2020年 数学 第1問解答・解説

(1) 三角形は $y$ 軸対称なので、内接円の中心は $y$ 軸上にある。辺 $BC$ は $x$ 軸上にあり、半径を $r$ とすれば中心は $I=(0,r)$。三角形の底辺は $2$、高さは $1$ だから面積は $1$ である。また $AB=AC=\sqrt2$ より半周長は $1+\sqrt2$。面積 $=r\times$半周長から $$\displaystyle r=\frac{1}{1+\sqrt2}=\sqrt2-1.$$

(2) 直線 $\ell:y=ax-1$ を円 $x^2+y^2=1$ に代入すると $$x^2+(ax-1)^2=1\quad\text{すなわち}\quad x\bigl((1+a^2)x-2a\bigr)=0.$$ $x=0$ は $D=(0,-1)$ に対応する。$a>0$ なので、もう一つの交点の $x$ 座標は $2a/(1+a^2)$ であり、$y=ax-1$ に代入して $$\displaystyle E=\left(\frac{2a}{1+a^2},\frac{a^2-1}{1+a^2}\right).$$

(3) 円 $T$ の中心は $I=(0,r)$。直線 $\ell$ を $ax-y-1=0$ と書くと、$I$ と $\ell$ の距離は $(r+1)/\sqrt{1+a^2}$ である。$\ell$ が半径 $r$ の円 $T$ に接する条件より $$\displaystyle \frac{r+1}{\sqrt{1+a^2}}=r, \qquad 1+a^2=\frac{(r+1)^2}{r^2}=\frac{2}{r^2},$$ ここで $r+1=\sqrt2$ を用いた。したがって $2/(1+a^2)=r^2$ であり、(2) の $E$ の $y$ 座標は $$\displaystyle y_E=\frac{a^2-1}{a^2+1}=1-\frac{2}{1+a^2}=1-r^2.$$ $r=\sqrt2-1$ から $r^2+2r=1$ なので $y_E=2r$。よって $E$ を通り $x$ 軸と平行な直線は $y=2r$ である。中心 $I=(0,r)$ からこの直線までの距離は $|2r-r|=r$ で、半径と等しい。したがってこの直線は円 $T$ に接する。

答え: $r=\sqrt{2}-1$。$\displaystyle E=\left(\frac{2a}{1+a^{2}},\frac{a^{2}-1}{1+a^{2}}\right)$。$\ell$が$T$に接するとき $y_E=2r$ であり、$E$を通る水平線は$T$に接する。