旭川医科大学 2020年数学第3問解答・解説

図形と方程式数列微分・積分の考え極限

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1問題

旭川医科大学2020年度第3問

座標平面上で x 座標と y 座標がともに整数である点 $(x, y)$ を格子点という。n を正の整数として，次の 3 つの不等式を同時に満たす領域を $D_{n}$ とする。

$y \geq x ^ {2}, \quad y \leq - x ^ {2} - 2 n x + 4 n ^ {2}, \quad 1 \leq x \leq n$

領域 $D_{n}$ に含まれる格子点の総数を $a_{n}$ とするとき，次の各問いに答えよ.

問 1 $a_{2}$ を求めよ.

問 2 $n \geq 3$ のとき, $a_{n}$ を求めよ.

問 3 $n \geq 3$ のとき，領域 $D_{n}$ の境界線上の格子点の総数を $b_{n}$ とする.

(1) 領域 $D_{n}$ の面積 $S_{n}$ を求めよ.

(2) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_{n}-\left(a_{n}-\frac{1}{2}b_{n}-1\right)}{n}$ を求めよ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

下側を $L=x^2$ ，上側を $U=-x^2-2nx+4n^2$ とおく。差は $U-L=2(n-x)(2n+x)\ge0$ 。問1・問2　整数 $x=k$ での格子点数は $4n^2-2nk-2k^2+1$ なので $\displaystyle a_n=\sum\limits _{k=1}^n(4n^2-2nk-2k^2+1)=\frac{n(7n^2-6n+2)}3.$ 従って $a_2=12$ 。問3(1) 面積は $\displaystyle S_n=\int_1^n(4n^2-2nx-2x^2)\,dx=\frac73n^3-4n^2+n+\frac23.$ (2) 二つの曲線境界には各 $n$ 個の格子点があり， $(n,n^2)$ を共有するので計 $2n-1$ 個。左端 $x=1$ には $4n^2-2n-1$ 個あるが両端を重複して数えているので $b_n=(2n-1)+(4n^2-2n-1)-2=4n^2-4.$ これらを代入すると $S_n-(a_n-b_n/2-1)=(n-1)/3$ 。従って求める極限は $1/3$ 。

この問題で使う考え方

不等式の表す領域
総和記号と数列の和
定積分
定積分による面積
数列の極限

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