4旭川医科大学 2020年 数学 第4問解答・解説

問1 $2^p=3>1=2^0$ と関数 $2^t$ の単調増加性から $p>0$ である。仮に $\displaystyle p=\frac{m}{n}$（$m,n$ は互いに素な正の整数）とすると、両辺を $n$ 乗して $2^m=3^n$ を得る。左辺は偶数、右辺は奇数なので矛盾し、$p$ は無理数である。 また、$2^{3/2}=\sqrt{8}<3=2^p$（$8<9$）より、単調性から $\displaystyle \frac{3}{2}<p$。さらに $3^5=243<256=2^8$ なので $3<2^{8/5}$。よって $2^p=3<2^{8/5}$ から $\displaystyle p<\frac{8}{5}$。

問2 $9=2^{2p}$、$3=2^p$ と $2^t$ は異なる $t$ の値に対して同じ値をとらないことを使うと、二式は $$x+(1-2p)y=2-2p,\qquad (2-3p)x+py=1+p$$ となる。第1式に $p$、第2式に $1-2p$ を掛け、後者を前者から引くと $$\bigl[p-(1-2p)(2-3p)\bigr]x=3p-1,\qquad p-(1-2p)(2-3p)=-2(3p-1)(p-1).$$ $\displaystyle p>\frac{3}{2}$ より $3p-1\ne0$、$p-1\ne0$ だから $$\displaystyle x=-\frac{1}{2(p-1)}.$$ これを第1式に代入すると $$\displaystyle (1-2p)y=2-2p+\frac{1}{2(p-1)}=-\frac{(2p-3)(2p-1)}{2(p-1)}.$$ $1-2p=-(2p-1)\ne0$ なので $$\displaystyle y=\frac{2p-3}{2(p-1)}.$$

問3 指数を比較すると $$x+y-2=2p(y-a),\qquad 2x-b=p(3x-y+1).$$ $x,y,a,b$ は有理数、$p$ は無理数 である。したがって、有理数 $r,s$ が $r=ps$ を満たすときは $r=s=0$ であることから $$x+y-2=0,\quad y-a=0,\quad 2x-b=0,\quad 3x-y+1=0.$$ $y=3x+1$ を $x+y=2$ に代入すると $4x=1$、よって $\displaystyle x=\frac{1}{4}$、$\displaystyle y=\frac{7}{4}$。従って $\displaystyle a=y=\frac{7}{4}$、$\displaystyle b=2x=\frac{1}{2}$。この値では二つの等式の左右の指数がそれぞれ $0$ となり、実際に条件を満たす。

問1は指数関数の増加性と整数べきの偶奇で処理する。問2は指数を比較して得た連立一次方程式を消去法で解く。問3はpの無理性により、有理数部分とpの係数をそれぞれ0とする。最終値を元の指数に代入し、存在を確かめる。