II横浜市立大学 2020年 数学 第II問解答・解説

(1) 底 $\sqrt2$ は正なので、指数法則より $$\left((\sqrt2)^{\sqrt2}\right)^{\sqrt2} =(\sqrt2)^{\sqrt2\cdot\sqrt2} =(\sqrt2)^2=2.$$

(2) 背理法で示す。もし $\sqrt2$ が有理数なら、互いに素な正整数 $p,q$ により $\sqrt2=p/q$ と書ける。平方すると $p^2=2q^2$ なので $p$ は偶数。$p=2k$ とおけば $q^2=2k^2$ となり $q$ も偶数で、$p,q$ が互いに素であることに反する。従って $\sqrt2$ は無理数。

(3) $\gamma=(\sqrt2)^{\sqrt2}>0$ とおく。(1)より $\gamma^{\sqrt2}=2$。

・ $\gamma$ が有理数なら、$x=y=\sqrt2$ とする。どちらも無理数で、$x^y=\gamma$ は有理数。

・ $\gamma$ が無理数なら、$x=\gamma,\ y=\sqrt2$ とする。どちらも無理数で、$x^y=\gamma^{\sqrt2}=2$ は有理数。

いずれの場合も求める性質を満たすので、そのような無理数の組が存在する。