IV横浜市立大学 2020年 数学 第IV問解答・解説

(1) $\sin x\ne0$ の範囲で積の微分法を用いると、 $$\displaystyle \left(\frac{\cos x}{\sin^n x}\right)'=-\frac{\sin x}{\sin^n x}-n\frac{\cos^2x}{\sin^{n+1}x}=-\frac{\sin^2x+n\cos^2x}{\sin^{n+1}x}.$$

(2) $\sin x\ne0$ の区間で $t=\cos x$ とおくと、$dt=-\sin x\,dx$ であるから、 $$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x}=\int\frac{\sin x\,dx}{1-\cos^2x}=-\int\frac{dt}{1-t^2}=\frac12\log\left|\frac{1-t}{1+t}\right|+C.$$ ここで $\displaystyle \frac{1-\cos x}{1+\cos x}=\tan^2\frac{x}{2}$ より、 $$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x}=\log\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C.$$ 積分定数は各区間ごとに定める。

(3) $\sin x\ne0$ の区間で $u=\cos x$、$\displaystyle dv=\frac{\cos x}{\sin^n x}\,dx$ とおく。 $$\displaystyle v=\frac{\sin^{1-n}x}{1-n},\qquad du=-\sin x\,dx,$$ である。部分積分法より、 $$\displaystyle \begin{aligned} \int\frac{\cos^2x}{\sin^nx}\,dx &=\frac{\cos x\,\sin^{1-n}x}{1-n}-\int\frac{\sin^{1-n}x}{1-n}(-\sin x)\,dx\\ &=\frac{1}{1-n}\left(\frac{\cos x}{\sin^{n-1}x}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2}x}\right). \end{aligned}$$ これで示された。

(4) (3) に $n=3$ を用い、(2) の原始関数を合わせると、 $$\displaystyle \int\frac{\cos^2x}{\sin^3x}\,dx=-\frac12\left(\frac{\cos x}{\sin^2x}+\log\left|\tan\frac{x}{2}\right|\right).$$ したがって、 $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos^2x}{\sin^3x}\,dx &=-\frac12\left[\frac{\cos x}{\sin^2x}+\log\left|\tan\frac{x}{2}\right|\right]_{\pi/4}^{\pi/2}\\ &=\frac12\left(\sqrt2+\log(\sqrt2-1)\right)\\ &=\frac{\sqrt2-\log(1+\sqrt2)}{2}. \end{aligned}$$ ここで $\tan(\pi/8)=\sqrt2-1$、$(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=1$ を用いた。

積の微分と置換積分で(1)(2)を求める。(3)は $u=\cos x$、$\displaystyle dv=\frac{\cos x}{\sin^n x}\,dx$ で部分積分する。(4)は漸化式に $n=3$ を代入した原始関数を端点で評価し、半角の値で対数を整理する。