I関西医科大学 2020年 数学 第I問解答・解説

(1) 分母を有理化すると $$x=\sqrt{59}+5,\qquad y=5-\sqrt{59}.$$ したがって $$x-y=2\sqrt{59},\qquad x^2+y^2=2(59+25)=168.$$ また $x+y=10$, $xy=25-59=-34$ だから $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=10\{168-(-34)\}=2020,$$ $$x^3y+5x^2y^2+xy^3=xy(x^2+5xy+y^2) =-34\{168+5(-34)\}=68.$$ 　 (2) 定義域は $x>0,\ x\ne1$。$t=\log_2 x$ とおくと $t\ne0$ であり、底の変換から $$\displaystyle \log_4(2x^2)=\frac12+t,\qquad \log_x4=\frac2t.$$ よって与式は $$\displaystyle \frac12+t-\frac2t+\frac12=0 \quad\text{すなわち}\quad t^2+t-2=0 \quad\text{すなわち}\quad (t-1)(t+2)=0.$$ 従って $t=1,-2$、すなわち $\displaystyle x=2,\frac14$ である。どちらも定義域を満たす。 　 (3) $(x+3)(x-2)\ge0$ より $$x\le-3\quad\text{または}\quad x\ge2\qquad\text{が }A\text{ に属する条件である。}$$ 絶対値の条件から $$\displaystyle x\le-\tfrac12\quad\text{または}\quad x\ge\tfrac{15}{2}\qquad\text{が }B\text{ に属する条件である。}$$ 従って $A\cup B$ に属する条件は $\displaystyle x\le-\tfrac12$ または $x\ge2$ であり、その実数全体に関する補集合に属する条件は $$\displaystyle -\tfrac12<x<2,$$ したがって $\displaystyle \text{カ}: -\frac12<x<2$。また $\overline B$ に属する条件は $\displaystyle -\tfrac12<x<\tfrac{15}{2}$ である。この範囲が $-a\le x\le a$ で表される集合 $C$ に含まれるには右端への上限 $15/2$ まで区間 $C$ が届く必要があり、$a\ge15/2$。整数 $a$ の最小値は $8$ である。