IV関西医科大学 2020年 数学 第IV問解答・解説

(1) $z=x+iy$（$y\ne0$）とおく。両辺は非負なので二乗して $$(x-3)^2+y^2=(2x-3)^2+4y^2.$$ 整理すると $$x^2-2x+y^2=0 \quad\text{すなわち}\quad (x-1)^2+y^2=1.$$ 従って、図形は中心 $(1,0)$、半径1の円周から、実軸上の2点 $z=0,2$ を除いたものである。図1(a)に円を示す。実軸上の点 $0$ と $2$ は白丸で示し、いずれも軌跡から除く。 　 (2) $\beta=u+iv$（$u,v$ は実数）とし、$C$ 上の点を $z=x+iy$ とする。$X=x-a$、$D=X^2+y^2$ とおく。$a$ は実数で、$z$ は実数でないから $D>0$。 $$\displaystyle w=a+\frac{u+iv}{X+iy} =a+\frac{uX+vy}{D}+i\frac{vX-uy}{D}.$$ $|w-2|=|w-2i|$ は、$w=U+iV$ とおけば $(U-2)^2+V^2=U^2+(V-2)^2$、すなわち $U=V$ と同値である。よって $$aD+(u-v)X+(u+v)y=0.\tag{1}$$ 一方、(1)で求めた円 $C$ の式は $(X+a-1)^2+y^2=1$ なので $$D=-2(a-1)X+1-(a-1)^2.$$ これを(1)へ代入する。 $$\{u-v-2a(a-1)\}X+(u+v)y+a\{1-(a-1)^2\}=0.$$ この一次式は円周上の無数の点で成り立つため、各係数が0である。従って $$u+v=0,\qquad a^2(2-a)=0,\qquad u-v-2a(a-1)=0.$$ $a\ne0$ より $a=2$。さらに $v=-u$ を用いると $2u-4=0$ だから $u=2,v=-2$。従って $\beta=2-2i$。 　 このとき $q=1/(z-2)$ とおく。円の式から $|z-2|^2+2\operatorname{Re}(z-2)=0$ であるため、$\operatorname{Re}q=-1/2$。したがって $q=-1/2+is$（実数 $s$）と表せる。$z$ が非実数であることから $s\ne0$。 $$w=2+(2-2i)q=1+2s+i(1+2s).$$ よって軌跡は直線 $\operatorname{Re}w=\operatorname{Im}w$ 上にある。$s\ne0$ なので $w=1+i$ は現れず、それ以外の直線上の各点は得られる。図1(b)に直線 $\operatorname{Re}w=\operatorname{Im}w$ を示す。点 $1+i$ は白丸で示し、軌跡から除く。

図1(a) は円周から $0,2$ を除いた軌跡、図1(b) は直線から $1+i$ を除いた軌跡を示す。