5愛媛大学 2021年 数学 第5問解答・解説

(1) 自然数 n を $n=6k+5$（$k$ は0以上の整数）とおく。和の立方の因数分解から $$n^3+1=(n+1)(n^2-n+1).$$ ここで $n+1=6(k+1)$ は6の倍数。また $j=2k+1$ とすれば $n=3j+2$ なので $$n^2-n+1=(3j+2)^2-(3j+2)+1=3(3j^2+3j+1)$$ は3の倍数である。したがって $n^3+1$ は $6\cdot3=18$ の倍数となる。

(2) 因子を $$f=x+y-1,\qquad g=x^2+y^2-2y-1=x^2+(y-1)^2-2$$ と書き直す。直線 $f=0$ は $x+y=1$、円 $g=0$ は中心 $(0,1)$、半径 $\sqrt2$ の円である。積 $fg\geq0$ となるのは、2つの因子がともに0以上か、ともに0以下のときだから、求める領域は $$\boxed{\begin{gathered}x+y-1\geq0\text{ かつ }x^2+(y-1)^2\geq2\\\text{または}\\x+y-1\leq0\text{ かつ }x^2+(y-1)^2\leq2\end{gathered}}.$$ 交点は直線 $y=1-x$ を円に代入して $$x^2+(-x)^2=2\quad\text{より}\quad x=\pm1,$$ よって $(1,0),(-1,2)$ である。図では、直線の $x+y\geq1$ 側の円外と、反対側 $x+y\leq1$ の円内を塗る。直線と円の境界上では積が0なので、境界も含む。この2領域を添付の図に示す。

(3) $p=1$ なら $a_{n+1}=a_n+2$ なので $$\boxed{a_n=2n}.$$ 次に $p\ne1$ とする。定数 $c=2/(1-p)$ は $c=pc+2$ を満たす。漸化式から $$a_{n+1}-c=p(a_n-c),$$ したがって $a_n-c=p^{n-1}(a_1-c)$ であり、整理して $$\displaystyle \boxed{a_n=\frac{2(1-p^n)}{1-p}}\qquad(p\ne1).$$ $|p|<1$ なら $p^n\to0$ なので $a_n\to2/(1-p)$。$p=-1$ なら $a_n=1-(-1)^n$ と交互に0と2をとり、収束しない。$|p|>1$ なら $p^n$ は有界でなく、式の $p^n$ の項から $a_n$ も収束しない。$p=1$ は $a_n=2n$ で発散する。よって収束する範囲は $$\displaystyle \boxed{-1<p<1},\qquad \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}a_n=\frac{2}{1-p}}.$$

(4) 差を $$f(x)=2x^3-9x^2+18x-11-6\log x\qquad(x>0)$$ とおく。微分して $$\displaystyle f'(x)=6x^2-18x+18-\frac6x =\frac{6(x^3-3x^2+3x-1)}{x} =\frac{6(x-1)^3}{x}.$$ $x>0$ だから、$0<x<1$ では $f'(x)<0$、$x>1$ では $f'(x)>0$。従って $f$ は $x=1$ で最小となり、 $$f(1)=2-9+18-11-6\log1=0.$$ ゆえに全ての $x>0$ で $f(x)\geq0$、すなわち $$\boxed{6\log x\leq2x^3-9x^2+18x-11}.$$ 等号成立は $x=1$ のときである。