4愛媛大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(1) $u=1+x^2$ とおくと $du=2x\,dx$ であるから $$\displaystyle \int\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx=\int\frac{1}{2\sqrt{u}}\,du=\sqrt{u}+C=\sqrt{1+x^2}+C$$ （$C$は積分定数）。実際 $\displaystyle \dfrac{d}{dx}\sqrt{1+x^2}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ となり検算できる。

(2) $\displaystyle \dfrac{d}{dx}(x^3+x^2)=3x^2+2x$ であるから，部分積分により $$\displaystyle \int_1^e(3x^2+2x)\log x\,dx=\Bigl[(x^3+x^2)\log x\Bigr]_1^e-\int_1^e(x^2+x)\,dx.$$ 第1項は，$\log e=1$，$\log 1=0$ より $(e^3+e^2)\cdot1-2\cdot0=e^3+e^2$。 第2項は $$\displaystyle \int_1^e(x^2+x)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_1^e=\left(\frac{e^3}{3}+\frac{e^2}{2}\right)-\left(\frac13+\frac12\right)=\frac{e^3}{3}+\frac{e^2}{2}-\frac56.$$ したがって $$\displaystyle \int_1^e(3x^2+2x)\log x\,dx=(e^3+e^2)-\left(\frac{e^3}{3}+\frac{e^2}{2}-\frac56\right)=\frac{2}{3}e^3+\frac12e^2+\frac56=\frac{4e^3+3e^2+5}{6}.$$ 数値検算：この値は約 $17.92$ であり，被積分関数を粗く数値積分した近似値（約 $17.9\sim18.0$）と整合する。

(3) $\displaystyle y=\cos\dfrac{\pi x}{2}$ と $y=x^2-1$ の交点を求める。両辺とも偶関数であるから，まず $x=1$ を調べると，$\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{2}=0$，$1^2-1=0$ で一致し，対称性より $x=-1$ でも一致する。区間 $-1\le x\le1$ では，例えば $x=0$ のとき $\cos0=1>-1=0^2-1$ であるから，この区間で $$\displaystyle \cos\frac{\pi x}{2}\ge x^2-1$$ が成り立ち，$x=\pm1$ でのみ等号となる。したがって囲まれた面積は $$\displaystyle S=\int_{-1}^{1}\left(\cos\frac{\pi x}{2}-x^2+1\right)dx.$$ 被積分関数は偶関数なので $$\displaystyle S=2\int_0^1\left(\cos\frac{\pi x}{2}-x^2+1\right)dx=2\left(\left[\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi x}{2}\right]_0^1+\left[-\frac{x^3}{3}+x\right]_0^1\right)=2\left(\frac{2}{\pi}+\frac23\right)=\frac{4}{\pi}+\frac43.$$ 数値では $S\approx1.273+1.333=2.607$ となり，粗いSimpson近似（約$2.61$）と一致する。

(4) $\displaystyle \alpha=\cos\dfrac{\pi}{14}+i\sin\dfrac{\pi}{14}=e^{i\pi/14}$ であるからド・モアブルの定理により $$\displaystyle (\alpha^k)^8=\alpha^{8k}=\cos\frac{8k\pi}{14}+i\sin\frac{8k\pi}{14}=\cos\frac{4k\pi}{7}+i\sin\frac{4k\pi}{7}.$$ これが $1$ となるのは $\displaystyle \dfrac{4k\pi}{7}$ が $2\pi$ の整数倍となるとき，すなわちある整数 $n$ に対して $$\displaystyle \frac{4k}{7}=2n\ \text{すなわち}\ 2k=7n$$ が成り立つときである。$7$は奇数で $\gcd(2,7)=1$ なので，これは $7\mid k$ と同値である（このとき $n=2k/7$ は自動的に整数になる）。$k=1,2,\ldots,27$ のうち $7$の倍数は $$k=7,\ 14,\ 21$$ の3個である（次の倍数 $28$ は範囲外）。検算：$k=7$ のとき $8k=56=2\cdot28$，$k=14$ のとき $8k=112=4\cdot28$，$k=21$ のとき $8k=168=6\cdot28$ となり，いずれも $\alpha^{8k}=(\alpha^{28})^{2,4,6}=1$（$\alpha^{28}=e^{i2\pi}=1$）で確認できる。

(5) $U=\{1,2,\ldots,99\}$，$|U|=99$。 $\overline{B}$（奇数）の個数は $50$。 $A=\{n\in U\mid n\equiv1\pmod3\}$ は $n=1,4,7,\ldots,97$ で個数は $\displaystyle \dfrac{97-1}{3}+1=33$。 $A\cap\overline{B}$（$3$で割ると$1$余り，かつ奇数）を数える。$n=3m+1$（$m=0,1,\ldots,32$）が奇数となるのは $3m$ が偶数，すなわち $m$ が偶数のときで，$m=0,2,4,\ldots,32$ の $17$個。よって $|A\cap\overline{B}|=17$。 包除原理より $$n(A\cup\overline{B})=n(A)+n(\overline{B})-n(A\cap\overline{B})=33+50-17=66.$$ 検算（余事象で確認）：$A\cup\overline{B}$ の補集合は「偶数かつ $3$で割って$1$余らない数」である。偶数 ($49$個) のうち $3$で割って$1$余るもの（$n=3m+1$ が偶数，$m$が奇数，$m=1,3,\ldots,31$ の $16$個）を除くと $49-16=33$個。よって $n(A\cup\overline{B})=99-33=66$ となり一致する。

(6) 正方形 $ABCD$ の頂点を，隣接（距離$1$）は確率$\displaystyle \dfrac25$ずつ，対角（距離$\sqrt2$）は確率$\displaystyle \dfrac15$で移動する。出発点 $A$ に対し，各時点の位置を「$A$」「隣接頂点（$B$または$D$）」「対角頂点（$C$）」の3タイプに分類し，$n$回移動後にそれぞれにいる確率を $x_n,\ y_n$（$B,D$の確率の合計），$z_n$ とする。$A$から隣接頂点への移動確率は$\displaystyle \frac25$（各頂点ごと），対角頂点からの移動では，対角頂点にいる状態から見て$A$は対角にあたるので確率$\displaystyle \frac15$，隣接頂点にいる状態（例えば$B$）から見て$A$は隣接にあたるので確率$\displaystyle \frac25$。したがって漸化式は $$\displaystyle x_{n+1}=\frac25y_n+\frac15z_n,\qquad z_{n+1}=\frac15x_n+\frac25y_n,\qquad y_{n+1}=1-x_{n+1}-z_{n+1}.$$ 初期値 $x_0=1,\ y_0=0,\ z_0=0$ から $$\displaystyle x_1=0,\quad y_1=\frac45,\quad z_1=\frac15.$$ $$\displaystyle x_2=\frac25\cdot\frac45+\frac15\cdot\frac15=\frac{8}{25}+\frac{1}{25}=\frac{9}{25},\qquad z_2=\frac15\cdot0+\frac25\cdot\frac45=\frac{8}{25},\qquad y_2=1-\frac{9}{25}-\frac{8}{25}=\frac{8}{25}.$$ $$\displaystyle x_3=\frac25\cdot\frac{8}{25}+\frac15\cdot\frac{8}{25}=\frac{16}{125}+\frac{8}{125}=\frac{24}{125}.$$ したがって，3回の移動でちょうど $A$ に戻る確率は $\displaystyle \dfrac{24}{125}$ である。検算：各頂点ごとの確率（$B,D$はそれぞれ $y_2/2=4/25$）を用いて直接計算しても $$\displaystyle P(A\to A\text{（3回後）})=P_2(B)\cdot\frac25+P_2(D)\cdot\frac25+P_2(C)\cdot\frac15=\frac{4}{25}\cdot\frac25+\frac{4}{25}\cdot\frac25+\frac{8}{25}\cdot\frac15=\frac{8}{125}+\frac{8}{125}+\frac{8}{125}=\frac{24}{125}$$ となり一致する。