1大阪医科薬科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

第1問　訂正解答 $a,b,c$ は三角形の辺の長さなので正の整数である。 $\angle BAC=\pi/3$ に余弦定理を用いると $$\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos\frac\pi3=b^2+c^2-bc.\tag{*}$$

(1) $ab=21$ の場合 正整数の順序付き組 $(a,b)$ は $(1,21),(3,7),(7,3),(21,1)$ の4通りに限られる。 式 (*) を $c$ の二次方程式とみると $$c^2-bc+(b^2-a^2)=0, \qquad \Delta=b^2-4(b^2-a^2)=4a^2-3b^2.$$ それぞれの判別式は $$\begin{array}{c|rrrr} (a,b)&(1,21)&(3,7)&(7,3)&(21,1)\\ \hline \Delta&-1319&-111&169&1761 \end{array}$$ である。前の2組は $\Delta<0$。最後の $1761$ は $41^2=1681<1761<1764=42^2$ だから整数の平方でなく、 $c$ を整数にできない。$(a,b)=(7,3)$ では $$\displaystyle c=\frac{3\pm\sqrt{169}}2=8\quad\text{または}\quad-5.$$ 辺の長さは正なので $c=8$ のみである。従って $$\boxed{(a,b,c)=(7,3,8)}.$$

(2) $a+b+c=bc/2$ の場合 $s=b+c$、$p=bc$ と置く。$p>0$ であり、問題の条件は $a=p/2-s>0$ である。式 (*) は $a^2=s^2-3p$ と書ける。ここへ $a=p/2-s$ を代入すると $$\displaystyle \left(\frac p2-s\right)^2=s^2-3p \quad\text{すなわち}\quad p(p-4s+12)=0.$$ $p>0$ なので $p=4s-12$ であり、 $$\displaystyle a=\frac p2-s=s-6=b+c-6>0, \qquad (b-4)(c-4)=p-4s+16=4.\tag{**}$$ 最後の積は正で、$b-4,c-4$ はともに正か、ともに負である。 ともに負なら正整数 $b,c$ はどちらも4未満、従って $b+c\le3+3=6$ となり、$a=b+c-6>0$ に反する。 よって両因子は正の整数である。積4の順序付き因子組は $$(b-4,c-4)=(1,4),(2,2),(4,1)$$ のみ。これから $(b,c)=(5,8),(6,6),(8,5)$、 それぞれ $a=b+c-6=7,6,7$ を得る。従って $$\boxed{(a,b,c)=(6,6,6),(7,5,8),(7,8,5)}.$$

検算と十分性 $(7,3,8)$ では $ab=21$ かつ $b^2+c^2-bc=3^2+8^2-3\cdot8=49=a^2$ である。 $(6,6,6)$ では $a+b+c=18=bc/2$ かつ $b^2+c^2-bc=36=a^2$。$(7,5,8)$ と $(7,8,5)$ では $a+b+c=20=bc/2$ かつ $b^2+c^2-bc=25+64-40=49=a^2$ である。 これらはいずれも正の辺をもち、(*) が成り立つと $$a^2-(b-c)^2=bc>0, \qquad (b+c)^2-a^2=3bc>0$$ となるので厳密な三角不等式を満たす。また余弦定理から $\cos\angle BAC=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=1/2$ であり、 指定された角 $\pi/3$ が得られる。