3大阪医科薬科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

各さいころの出目は独立で、全36通りが同様に確からしい。

(1) $Z_1=1,2,3$ のときは定義により $\displaystyle X_1=\min(Z_1+Z_1',6)$、また $Z_1=4,5,6$ のときは $X_1=Z_1$ である。各 $Z_1$ に対して、値 $x=2,3,4,5,6$ をとる $Z_1'$ の個数は次の通り。 $$\begin{array}{c|ccccc|c} &x=2&x=3&x=4&x=5&x=6&\text{計}\\ \hline Z_1=1&1&1&1&1&2&6\\ Z_1=2&0&1&1&1&3&6\\ Z_1=3&0&0&1&1&4&6\\ Z_1=4&0&0&6&0&0&6\\ Z_1=5&0&0&0&6&0&6\\ Z_1=6&0&0&0&0&6&6\\ \hline \text{度数}&1&2&9&9&15&36 \end{array}$$ 従って、この度数を36で割った確率は順に $1/36,1/18,1/4,1/4,5/12$。

(2) $Z_1=1$ のとき、$Z_1'=1,2,3,4,5,6$ に対して $X_1=2,3,4,5,6,6$ となる。$X_1+X_2=6$ が可能なのは、順に $X_1=2,3,4$ の場合だけだから、$X_2=4,3,2$ を要する。$X_2$ は $Z_1,Z_1'$ と独立なので、(1)より $$\displaystyle P(X_1+X_2=6\mid Z_1=1) =\frac16\left(\frac9{36}+\frac2{36}+\frac1{36}\right) =\frac1{18}.$$

(3) $X_1,X_2$ は独立同分布なので $$\displaystyle P(X_1+X_2=6)=2\frac1{36}\frac9{36}+\left(\frac2{36}\right)^2 =\frac{22}{1296}.$$ また (2) から $$\displaystyle P(Z_1=1,\ X_1+X_2=6)=P(Z_1=1)P(X_1+X_2=6\mid Z_1=1) =\frac16\cdot\frac1{18}=\frac{12}{1296}.$$ 従って求める条件付き確率は $$\displaystyle P(Z_1=1\mid X_1+X_2=6)=\frac{12/1296}{22/1296}=\frac6{11}.$$