5大阪医科薬科大学 2019年 数学 第5問解答・解説

(1) $|w_1|=|w_2|=1$ より $|w_1-w_2|=|w_1/w_2-1|$。また $|w_1/w_2|=1$ で、その偏角が $\theta$ だから $w_1/w_2=e^{i\theta}$ と書ける。従って $$\displaystyle |w_1-w_2|^2=|e^{i\theta}-1|^2 =(e^{i\theta}-1)(e^{-i\theta}-1) =2-2\cos\theta=4\sin^2\frac{\theta}{2},$$ 両辺の平方根をとればよい。

(2) $z=e^{it}$、$x=\cos t$ とおくと $-1\le x\le1$ である。$\alpha=e^{i\pi}$、$\beta=e^{i\pi/3}$、$\gamma=e^{-i\pi/3}$ である。$d_\alpha=|z-\alpha|$ などとおくと $$d_\alpha^2=2+2x,\quad d_\beta^2=2-x-\sqrt3\sin t, \quad d_\gamma^2=2-x+\sqrt3\sin t.$$ ここから $$\begin{aligned} (d_\beta+d_\gamma)^2 &=4-2x+2\sqrt{(2-x)^2-3\sin^2t}\\ &=4-2x+2\sqrt{(2x-1)^2} =4-2x+2|2x-1|, \end{aligned}$$ 従って $$d_\beta+d_\gamma= \begin{cases} \sqrt{2(1+x)}&(x\ge1/2),\\ \sqrt{6(1-x)}&(x\le1/2). \end{cases}$$ 求める和を $S(x)$ とすると、$x\ge1/2$ では $S(x)=2\sqrt{2(1+x)}$ で、$1/2\le x\le1$ で増加するから値域は $2\sqrt3\le S(x)\le4$。 $x\le1/2$ では $$S(x)=\sqrt{2(1+x)}+\sqrt{6(1-x)}.$$ その導関数は $$\displaystyle S'(x)=\frac1{\sqrt{2(1+x)}}-\frac{\sqrt6}{2\sqrt{1-x}}$$ で、$x=-1/2$ で0となり、そこまで正、その後負である。従ってこの区間の最大値は $S(-1/2)=1+3=4$、最小値は両端でとり、$S(-1)=S(1/2)=2\sqrt3$。よって全体の最大値は4、最小値は $2\sqrt3$ である。