2金沢大学 2004年 数学 第2問解答・解説

(1) $z$ を因数分解すると $$\displaystyle z=1+e^{it}=2\cos\frac t2\,e^{it/2}.$$ $-\pi<t<\pi$ より $\cos(t/2)>0$ かつ $-\pi/2<t/2<\pi/2$ だから、 $$\displaystyle |z|=2\cos\frac t2,\qquad \arg z=\frac t2.$$ したがって $$\displaystyle \frac1{z^2}=\frac1{4\cos^2(t/2)}\bigl(\cos(-t)+i\sin(-t)\bigr),$$ すなわち絶対値は $1/(4\cos^2(t/2))$、偏角は $-t$ である。

(2) $w=2i/z^2$ とおくと $$\displaystyle w=\frac{1}{2\cos^2(t/2)}(\sin t+i\cos t).$$ $u=\Re w,\ v=\Im w$ とすれば、半角の公式から $$\displaystyle u=\frac{\sin t}{1+\cos t}=\tan\frac t2, \qquad v=\frac{\cos t}{1+\cos t}=\frac{1-u^2}{2}.$$ $t/2$ は $(-\pi/2,\pi/2)$ を動くので、$u=\tan(t/2)$ は全実数を動く。よって軌跡は $$\displaystyle v=\frac{1-u^2}{2}$$ で表される放物線全体である。頂点は $(u,v)=(0,1/2)$、軸は $u=0$ で、$v$ の負の方向に開く。具体図は別添 A-figure.svg に示す。